Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的頂點為，與軸相交于點，先將拋物線沿軸翻折，再向右平移個單位長度后得到拋物線直線經過， 兩點．

（）結合圖象，直接寫出不等式的解集．

（）若拋物線的頂點與點關于原點對稱，求的值及拋物線的解析式．

（）若直線沿軸向右平移個單位長度后，與（）中的拋物線存在公共點，求代數式的最大值．

Answer 1

【答案】（）．（ ）； ．（）．

【解析】試題分析：（1）令拋物線C1的解析式中x=0，求出y值即可得出點N的坐標，再利用配方法將拋物線C1的解析式配方，即可得出頂點M的坐標，結合函數圖象的上下位置關系，即可得出不等式的解集；（2）找出點M關于x軸對稱的對稱點的坐標，找出點M關于原點對稱的對稱點的坐標，二者橫坐標做差即可得出p的值，根據拋物線的開口大小沒變，開口方向改變，再結合平移后的拋物線的頂點坐標即可得出拋物線C2的解析式；（3）由點M、N的坐標利用待定系數法即可求出直線l的解析式，根據直線l沿y軸向下平移q個單位長度后與拋物線C2存在公共點，即可得出方程有實數根，利用根的判別式△≥0，即可求出q的取值范圍，再根據一次函數的性質即可得出當時， 取最大值，代入數據求出最值即可．

試題解析：（）由．

配成頂點式得．

∴； ．

則由圖知， 的解集為．

（）； ．

(2)∵拋物線的頂點為M(2，1)，

沿x軸翻折后的對稱點坐標為(2，1).

∵拋物線C2的頂點與點M關于原點對稱，

∴拋物線C2的頂點坐標為(2，-1),,

∴p=2(2)=4.

拋物線C2與C1開口大小相同，開口方向相反，

∴拋物線C2的解析式為．.

（）將， 坐標代入．

得．

則平移后解析式為．

又∵與有支點．

即式中．

．

得．

代數式．

．

∴上式最大值為，上式．