(2012•河南)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=
12
x+1與拋物線y=ax2+bx-3交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3.點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C,作PD⊥AB于點(diǎn)D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
①用含有m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng),并求出線段PD長(zhǎng)的最大值;
②連接PB,線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形,是否存在適合的m的值,直接寫出m的值,使這兩個(gè)三角形的面積之比為9:10?若存在,直接寫出m的值;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)已知直線AB的解析式,首先能確定A、B點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法確定a、b的值;若設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為E,E點(diǎn)坐標(biāo)易知,在Rt△AEO中,能求出sin∠AEO,而∠AEO=∠ACP,則∠ACP的正弦值可得.
(2)①已知P點(diǎn)橫坐標(biāo),根據(jù)直線AB、拋物線的解析式,求出C、P的坐標(biāo),由此得到線段PC的長(zhǎng);在Rt△PCD中,根據(jù)(1)中∠ACP的正弦值,即可求出PD的表達(dá)式,再根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)求出PD長(zhǎng)的最大值.
②在表達(dá)△PCD、△PBC的面積時(shí),若都以PC為底,那么它們的面積比等于PC邊上的高的比.分別過(guò)B、D作PC的垂線,首先求出這兩條垂線段的表達(dá)式,然后根據(jù)題干給出的面積比例關(guān)系求出m的值.
解答:解:(1)由
1
2
x+1=0,得x=-2,∴A(-2,0).
1
2
x+1=3,得x=4,∴B(4,3).
∵y=ax2+bx-3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),
(-2)2•a-2b-3=0
42•a+4b-3=3

a=
1
2
b=-
1
2
,
則拋物線的解析式為:y=
1
2
x2-
1
2
x-3,
設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E,則E(0,1).
∵PC∥y軸,
∴∠ACP=∠AEO.
∴sin∠ACP=sin∠AEO=
OA
AE
=
2
5
=
2
5
5


(2)①由(1)知,拋物線的解析式為y=
1
2
x2-
1
2
x-3.則點(diǎn)P(m,
1
2
m2-
1
2
m-3).
已知直線AB:y=
1
2
x+1,則點(diǎn)C(m,
1
2
m+1).
∴PC=
1
2
m+1-(
1
2
m2-
1
2
m-3)=-
1
2
m2+m+4=-
1
2
(m-1)2+
9
2

Rt△PCD中,PD=PC•sin∠ACP=[-
1
2
(m-1)2+
9
2
]•
2
5
5
=-
5
5
(m-1)2+
9
5
5

∴PD長(zhǎng)的最大值為:
9
5
5


②如圖,分別過(guò)點(diǎn)D、B作DF⊥PC,BG⊥PC,垂足分別為F、G.
∵sin∠ACP=
2
5
5

∴cos∠ACP=
1
5
,
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP=
DF
DP
=
1
5
,
在Rt△PDF中,DF=
1
5
PD=-
1
5
(m2-2m-8).
又∵BG=4-m,
S△PCD
S△PBC
=
DF
BG
=
-
1
5
(m2-2m-8)
4-m
=
m+2
5

當(dāng)
S△PCD
S△PBC
=
m+2
5
=
9
10
時(shí),解得m=
5
2

當(dāng)
S△PCD
S△PBC
=
m+2
5
=
10
9
時(shí),解得m=
32
9
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及解析式的確定、解直角三角形、圖形面積的求法等知識(shí),主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力.
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(1)求證:四邊形AMDN是平行四邊形;
(2)填空:①當(dāng)AM的值為
1
1
時(shí),四邊形AMDN是矩形;
           ②當(dāng)AM的值為
2
2
時(shí),四邊形AMDN是菱形.

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EC
=
CB
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12
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65°
65°

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