Question

二次函數(shù)的圖象與x軸從左到右兩個交點依次為A、B，與y軸交于點C．
（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）如果P（x，y）是線段BC之間的動點，O為坐標(biāo)原點，試求△POA的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得PO=PA？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，在y=x²-中，令y=0
0=x²-，
解得：x=4或6，
當(dāng)x=0，y=6，
可得：A（4，0），B（6，0），C（0，6）；

（2）設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b；
將B（6，0）、C（0，6）代入上式，得：
，
解得；
∴y=-x+6；
根據(jù)題意得S_△POA=×4×y，
∴y=-x+6；
∴S_△POA=-2x+12；
∴0≤x＜6；

（3）∵|OB|=|OC|，∠COB=90°；
∴△BOC是等腰直角三角形；
作AO的中垂線交CB于P，
根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出PO=PA，
而OA=4，∴P點橫坐標(biāo)為2，代入直線BC解析式即可，
∴y=-x+6=-2+6=4，
∴P點坐標(biāo)為：（2，4），
∴存在這樣的點P（2，4），使得OP=AP．
分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0可求得C點坐標(biāo)，令y=0可求得A、B的坐標(biāo)；
（2）已知了B、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求解即可，根據(jù)直線BC的解析式可用x表示出P點的縱坐標(biāo)，以O(shè)A為底，P點縱坐標(biāo)的絕對值為高即可得到△OAP的面積，由此可求得S、x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）易知△OBC是等腰Rt△，且直角邊長為6，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出P點位置，進(jìn)而求出即可．
點評：此題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的求法、一次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的計算方法等重要知識點，綜合性較強(qiáng)，難度適中．