Question

已知AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在⊙O 上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），連接CD，且CD=OA.

（1）當(dāng)OC=時(shí)（如圖），求證：CD是⊙O的切線；
（2）當(dāng)OC＞時(shí)，CD所在直線于⊙O相交，設(shè)另一交點(diǎn)為E，連接AE.
①當(dāng)D為CE中點(diǎn)時(shí)，求△ACE的周長(zhǎng);
②連接OD，是否存在四邊形AODE為梯形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明梯形個(gè)數(shù)并求此時(shí)AE·ED的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）①②存在，這樣的梯形有2個(gè)

解：（1）如圖①，連接OD，

則。
∵CD=OA=2，OC=，
∴。
∴。
∴△OCD是直角三角形，且∠ODC=90⁰。
∴CD為⊙O的切線。
（2）如圖②，連接OE，OD，

∵OD=OE=CD=2，D是CE的中點(diǎn)，
∴OD=OE=CD=DE=2。
∴為等邊三角形。
∴。
∵，，
∴，∴，即。
根據(jù)勾股定理求得：，。
∴△ACE的周長(zhǎng)為。
（3）存在，這樣的梯形有2個(gè)，(如圖③所示)，

連接OE，
由四邊形AODE為梯形的定義可知：AE∥OD，
∴。
∵OD=CD，∴。
∴，∴AE=CE。
∵，
∴，。
∴∽。
∴，即：。
∴。
（1）由已知，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠ODC=90⁰，從而CD為⊙O的切線。
（2）由已知，判斷△EOC和△EOA都是直角三角形，根據(jù)已知和勾股定理可求各邊長(zhǎng)而得到△ACE的周長(zhǎng)。
（3）由梯形的定義可知：AE∥OD，根據(jù)平行線同位角相等的性質(zhì)，和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，可證得∽，從而由比例式可求解。