Question

已知等邊△ABC和Rt△DEF按如圖所示的位置放置，點B，D重合，且點E、B（D）、C在同一條直線上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=，現將△DEF沿直線BC以每秒個單位向右平移，直至E點與C點重合時停止運動，設運動時間為t秒．

（1）試求出在平移過程中，點F落在△ABC的邊上時的t值；

（2）試求出在平移過程中△ABC和Rt△DEF重疊部分的面積s與t的函數關系式；

（3）當D與C重合時，點H為直線DF上一動點，現將△DBH繞點D順時針旋轉60°得到△ACK，則是否存在點H使得△BHK的面積為？若存在，試求出CH的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）8或10       （2）s=（12﹣t）²        （3）見解析

【解析】

試題分析：（1）當F在邊AB上時，如圖（1），作AM⊥BC，則AM=AB=×6=9，

∵AM⊥BC，∠FEB=90°

∴EF∥AM，

∴△BEF∽△BMA，

∴=，即=，解得：BE=2，則移動的距離是：6+2=8，則t==8；

當F在AC上時，如圖（2）同理可得：EC=2，則移動的距離是：2×6﹣2=12﹣2=10，則t==10，

故t的值是：8或10；

（2）當0＜t≤6時，重合部分是三角形，如圖（3），設AB與BE交于點N，

則BD=t，

則NB=BD=t，ND=BD=×t=t，則s=NB?ND=×t×t=t²；

當6＜t＜10時，如圖（4），則CD=t﹣6，

∵∠TCB=60°，∠D=30°

∴∠DTC=30°，

∴∠D=∠DTC，

∴TC=CD=t﹣6，

則在直角△THC中，TH=TC=（t﹣6）=t﹣9，

則s=18﹣CD?TH=18﹣（t﹣6）（t﹣9）=﹣（t﹣6）²+18；

當10≤t＜12時，重合部分如圖（5），

EC=12﹣t，

則直角△ECJ中，EJ=EC=（12﹣t），

則s=EC?EJ=×（12﹣t）²=（12﹣t）²．

（3）當B，H，K在一條直線上時，CH=CK=BC?tan30°=6×=6，

設CH=x，作HL⊥BC于點L，則HL=x，

△CKH是邊長是x的等邊三角形，則面積是x²，

△BCH的面積是：BC?HL=3×x=x，

△BCK的面積是：3x．

當0＜CH＜6時，△BHK的面積=△BCK的面積﹣△CKH的面積﹣△BCH的面積，即3x﹣x﹣x²=4，方程無解．

當CH＞6時，△BHK的面積=△CKH的面積+△BCH的面積﹣△BCK的面積，即x²+x﹣3x=4，解得：x=8或﹣2（舍去），故x=8

總之，CH=8．

考點：相似形綜合題；等邊三角形的性質；平移的性質；旋轉的性質；相似三角形的判定與性質．5

點評：本題考查了相似三角形的性質，正確對t的情況進行分類是關鍵．