Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．

（1）直線BF垂直于CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖1）．求證：AE=CG；

（2）直線AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長線于點(diǎn)M（如圖2）．那么圖中是否存在與AM相等的線段？若存在，請寫出來并證明；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）根據(jù)題意得到三角形ABC為等腰直角三角形，且CD為斜邊上的中線，利用三線合一得到CD垂直于AB，且CD為角平分線，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一對角相等，AC=BC，利用ASA得到△AEC與△CGB全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證．

（2）圖中存在與AM相等的線段，AM=CE．先證出∠CEB=∠CMA，再由AAS證明△BCE≌△ACM，即可解答．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．

∴∠CAE=∠BCG．

∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°．

∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG．

在△AEC和△CGB中，

，

∴△AEC≌△CGB（ASA）．

∴AE=CG．

（2）圖中存在與AM相等的線段，AM=CE．

證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．

∴∠CMA=∠BEC．

∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，

在△CAM和△BCE中，

，

∴△CAM≌△BCE（AAS）．

∴AM=CE．

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．