Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=4，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P，M是線段BC上任意一點(diǎn)，則MD+MP的最小值為．

Answer 1

【答案】．

【解析】試題分析：本題主要考查的是最短路徑問(wèn)題，由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.首先作出點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，從而可知當(dāng)點(diǎn)P、M、D′在一條直線上時(shí)，路徑最短，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，PG和GD′均最短，即PD′最短，然后由正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知：PG=2，GD′=6，最后由勾股定理即可求得PD′的長(zhǎng)，從而可求得MD+MP的最小值.

如圖作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接PD′，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：MD=D′M，CD=CD′=4,

∴PM+DM=PM+MD′=PD′，過(guò)點(diǎn)P作PG垂直于C，垂足為G，易證AF⊥BE，故可知P的軌跡為以AB為直徑的四分之一圓弧，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，PG和GD′均最短， ∴此時(shí)PD′最短．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴PG=AD=2，GC=DC=2．

∴GD′=6．

在Rt△PGD′中，由勾股定理得：PD′==＝2．

故答案為2.