Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)F，E分別以相同的速度從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向C和B運(yùn)動(dòng)（任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止），過(guò)點(diǎn)P作PM∥CD交BC于M點(diǎn)，PN∥BC交CD于N點(diǎn)，連接MN，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，則下列結(jié)論：
①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PEBF；⑤線(xiàn)段MN的最小值為 ．
其中正確的結(jié)論有（ ）

A.2個(gè)
B.3個(gè)
C.4個(gè)
D.5個(gè)

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如圖，

∵動(dòng)點(diǎn)F，E的速度相同，

∴DF=CE，

又∵CD=BC，

∴CF=BE，

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正確；

∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正確；

∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠APB=90°，故③正確；

在△BPE和△BCF中，

∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，

∴△BPE∽△BCF，

∴ = ，

∴CFBE=PEBF，

∵CF=BE，

∴CF2=PEBF，故④正確；

∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APB=90°，

∴點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，

設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，

在Rt△BCG中，CG= = = ，

∵PG= AB= ，

∴CP=CG﹣PG= ﹣ = ，

即線(xiàn)段CP的最小值為 ，故⑤正確；

綜上可知正確的有5個(gè)，

故選D．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．