Question

【題目】閱讀理解題

（1）閱讀理解：如圖①，等邊內(nèi)有一點(diǎn)，若點(diǎn)到頂點(diǎn)，，的距離分別為3，4，5，求的大小.

思路點(diǎn)撥：考慮到，，不在一個(gè)三角形中，采用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，可以將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)，這樣，就可以利用全等三角形知識，結(jié)合已知條件，將三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出的度數(shù).請你寫出完整的解題過程.

（2）變式拓展：請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：

已知如圖②，中，，，、為上的點(diǎn)且，，，求的大小.

（3）能力提升：如圖③，在中，，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，且，請直接寫出的值，即______.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，再求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再利用勾股定理列式即可得證．
（3）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處，連接，根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，即的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得，等邊三角形三個(gè)角都是求出，然后求出、、、四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出，從而得到．

解：(1),

由題意知旋轉(zhuǎn)角,

為等邊三角形，

,

易證為直角三角形,且 ,

,

故答案為：；

(2)如圖2,把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得, ,

,

在和中，

,

,

由勾股定理得, ，

即,

.

(3)如圖3,將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處,連接，

在中, ,

，

,

繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

如圖所示；

，

繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到，

，

是等邊三角形，

,

,

四點(diǎn)共線，

在中,