Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P（x，y），若點Q的坐標為（x+ay，ax+y）（其中a為常數(shù)，且a≠0），則稱Q是點P的“a系聯(lián)動點”.例如：點P(1,2)的“3系聯(lián)動點”Q的坐標為（7,5）.

（1）點（3,0）的“2系聯(lián)動點”的坐標為 ；若點P的“系聯(lián)動點”的坐標是（,0），則點P的坐標為 ；

（2）若點P（x，y）的“a系聯(lián)動點”與“系聯(lián)動點”均關于x軸對稱，則點P分布在 ，請證明這個結論；

（3）在（2）的條件下，點P不與原點重合，點P的“a系聯(lián)動點”為點Q，且PQ的長度為OP長度的3倍，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）(3，6) ，P(1，2)；（2）點P分布在x軸上，證明見解析；（3）a=±3.

【解析】分析：（1）根據(jù)“a系聯(lián)動點”的定義進行解答即可；

（2）根據(jù)“a系聯(lián)動點”的定義得出點P（x，y）的“a系聯(lián)動點”和“-a系聯(lián)動點”的坐標，然后根據(jù)這兩點關于x軸對稱即可求出y=0，即點P在x軸上；

（3）由（2）可知點P在x軸上，設P（x，0）（x≠0），根據(jù)“a系聯(lián)動點”的定義表示出Q點的坐標，然后根據(jù)PQ的長度為OP長度的3倍建立方程即可求出a的值．

詳解：（1）點（3，0）的“2系聯(lián)動點”的坐標為（3+2×0，2×3+0），即；

設P（x，y），則點P的“-2系聯(lián)動點”的坐標為（x-2y，-2x+y），

∵點P的“系聯(lián)動點”的坐標是（，0），

∴，

解得：，

∴點P的坐標為．

故答案為：（3，6），（1，2）；

（2）點P分布在x軸上.

證明：∵點P(x,y)的“a系聯(lián)動點”的坐標為(x+ay, ax+y)（其中a為常數(shù)，且a≠0），

點P(x,y)的“-a系聯(lián)動點”為(x-ay, -ax+y).

∵點P的“a系聯(lián)動點”與“-a系聯(lián)動點”均關于x軸對稱,

∴

∵a≠0,

∴y=0.

∴點P在x軸上；

（3）∵在（2）的條件下，點P不與原點重合,

∴ 點P的坐標為(x, 0)，x≠0.

∵點P的“a系聯(lián)動點”為點Q,

∴點Q的坐標為(x, ax).

∵PQ的長度為OP長度的3倍,

∴.

∴.

∴a=±3.