Question

【題目】（1）動手操作：

如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點處，折痕為EF，若∠ABE=20°，那么的度數(shù)為 。

（2）觀察發(fā)現(xiàn)：

小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖③）．小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．

（3）實踐與運用：

將矩形紙片ABCD 按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF，折痕與AD邊交于點E，與BC邊交于點F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都與點F重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ（如圖④）,求∠MNF的大小。

Answer 1

【答案】（1）125°；（2）同意；（3）60°

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求得∠AEB的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得∠DEF的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠EFC的度數(shù)，即可得到結(jié)果；

（2） 設AD與EF交于點G．由折疊的性質(zhì)可得AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．∠AGE=∠DGE=90°，即得∠AEF=∠AFE，從而可以證得結(jié)論；

（3）過N作NH⊥AD于H，設，根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理可證得△MPF為等邊三角形，則∠MFE=30°，∠MFN=60°，又MN=MF=，則△MNF為等邊三角形，即可求得結(jié)果；

（1）因為∠ABE=20°，所以∠AEB=70°

由折疊知，∠DEF=55°

所以=∠EFC=125°；

（2）同意．

設AD與EF交于點G．

由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．

由折疊知，∠AGE=∠DGE=90°，

所以∠AGE=∠AGF=90°，

所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，

即△AEF為等腰三角形．

（3）過N作NH⊥AD于H

設

由折疊知， ①

②

∴△MPF為等邊三角形

∴∠MFE=30°

∴∠MFN=60°，

又∵MN=MF=

∴△MNF為等邊三角形

∴∠MNF=60°.