Question

10．如圖1，在△ABC中，∠C=90°，點D在BC上，DE⊥AB于點E，點M是AD的中點，連接CM、EM．
（1）問題發(fā)現(xiàn)：
①線段CM、EM的數(shù)量關系是CM=ME；
②∠CME、∠CAB的數(shù)量關系是∠CME=2∠CAB．
（2）拓展探究：
將△BED繞著點B旋轉到圖2的位置時，小明猜想（1）中的結論①②仍然成立，并嘗試取AB的中點G和BD的中點F．作了△CGM和△MFE，請你證明小明的猜想．
（3）問題解決：
已知∠B=30°，BD=AC=4，當△BED旋轉至A、D、E三點共線時，直接寫出線段CM的長．

Answer 1

分析 （1）運用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，進行分析即可；
（2）運用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和中位線定理證明全等三角形，進一步得出結論；
（3）運用30°的三角函數(shù)求出AB，BE，和AE的長度結合前面結論進一步求解即可．

解答 解：（1）①CM=ME；②∠CME=2∠CAB；
（2）∵AB的中點G和BD的中點F，點M是AD的中點，
∴CG=BG，MG∥BD，MG=$\frac{1}{2}$DB=BF，EF=$\frac{1}{2}$DB=BF，MF=$\frac{1}{2}$AB=BG，
∴∠CGA=2∠ABC，CG=MF，MG=EF，
∵∠CGM=∠CGA+∠AGM=2∠ABC+∠ABD，
∠MFE=∠MFD+∠DFE=∠ABD+2∠DBE，
而∠ABC=∠DBE，
∴∠CGM=∠MFE．
在△CGM和△MFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=MF}\\{∠CGM=∠MFE}\\{MG=EF}\end{array}\right.$，
∴△CGM≌△MFE．
∴CM=ME，∠EMF=∠MCG．
∴∠CME=∠CMG+∠GMF+∠EMF=∠CMG+∠MGA+∠MCG
=180°-∠AGC=2∠BAC．
（3）
∵∠B=30°，BD=AC=4，
∴AB=8，BE=2$\sqrt{3}$，DE=2，
如圖1，

AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
CM=ME=$\frac{1}{2}$（AE+DE）=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{13}$+2）=$\sqrt{13}$+1，
如圖2，

AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{13}$
CM=ME=$\frac{1}{2}$（AE-DE）=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{13}$-2）=$\sqrt{13}$-1，
綜上所述：線段CM的長為：$\sqrt{13}$+1或$\sqrt{13}$-1．

點評 此題主要考查圖形的旋轉綜合問題，知道直角三角形斜邊中線等于斜邊一半會產(chǎn)生等腰三角形，會用三角形外角的性質(zhì)，會解直角三角形，能數(shù)練證明三角形期全等是解題的關鍵．