Question

（2013•南昌）平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，則滿(mǎn)足題意的OC長(zhǎng)度為整數(shù)的值可以是

2，3，4

．

Answer 1

分析：分類(lèi)討論：如圖1，根據(jù)圓周角定理可以推出點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心的圓上；
如圖2，根據(jù)已知條件可知對(duì)角∠AOB+∠ACB=180°，則四個(gè)點(diǎn)A、O、B、C共圓．分類(lèi)討論：如圖1，如圖2，在不同的四邊形中，利用垂徑定理、等邊△MAO的性質(zhì)來(lái)求OC的長(zhǎng)度．

解答：解：如圖1，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠ACB=

1

2

∠AOB=60°，
∴點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心的圓上，且在優(yōu)弧AB上．
∴OC=AO=BO=2；
如圖2，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴四個(gè)點(diǎn)A、O、B、C共圓．
設(shè)這四點(diǎn)都在⊙M上．點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)．
連接OM、AM、AB、MB．
∵∠ACB=60°，
∴∠AMB=2∠ACB=120°．
∵AO=BO=2，
∴∠AMO=∠BMO=60°．
又∵M(jìn)A=MO，
∴△AMO是等邊三角形，
∴MA=AO=2，
∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，
∴OC可以取整數(shù)3和4．
綜上所述，OC可以取整數(shù)2，3，4．
故答案是：2，3，4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題需要分類(lèi)討論，以防漏解．在解題時(shí)，還利用了圓周角定理，圓周角、弧、弦間的關(guān)系．