Question

【題目】如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形BCE，連接AE，DE．

（1）求證：AE＝DE

（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE，垂足為F，若AB＝2cm，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）證明△ABE≌△DCE，可得結(jié)論；

（2）作輔助線(xiàn)，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠BCG＝30°，∠DEF＝30°，利用正方形的邊長(zhǎng)計(jì)算DE的長(zhǎng)，從而得DF的長(zhǎng)．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，

∵△BCE是等邊三角形，

∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，

即∠ABE＝∠DCE＝150°，

∴△ABE≌△DCE，

∴AE＝DE；

（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD于G，

∵DC＝CE，∠DCE＝150°，

∴∠CDE＝∠CED＝15°，

∴∠ECG＝30°，

∵CB＝CD＝AB＝2，

∴EG＝1，CG＝，

在Rt△DGE中，DE＝，

在Rt△DEF中，∠EDA＝∠DAE＝90°﹣15°＝75°

∴∠DEF＝30°，

∴DF＝DE＝（cm）．