Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，直線DC與AB的延長線相交于P．弦CE平分∠ACB，交直徑AB于點F，連結BE．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）探究線段PC，PF之間的大小關系，并加以證明；

（3）若tan∠PCB=，BE=，求PF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PC=PF．證明見解析；（3）．

【解析】試題分析：(1)、連接OC，根據(jù)切線的性質得出∠OCP=∠D=90°即 OC∥AD，然后根據(jù)OA=OC得出∠CAD=∠OCA=∠OAC，從而得出角平分線；(2)、根據(jù)∠PCB+∠ACD=∠CAD+∠ACD=90°，從而得出∠CAB=∠CAD=∠PCB，結合∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE得出∠PFC=∠PCF，從而得出答案；(3)、連接AE，根據(jù)題意得出△PCB和△PAC相似，然后設PB=3x，則PC=4x，根據(jù)Rt△POC的勾股定理得出x的值，從而得出答案.

試題解析：（1）連接OC． ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．

∵PC是⊙O的切線，AD⊥CD， ∴∠OCP=∠D=90°， ∴ OC∥AD．

∴ ∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．

（2）PC=PF．

證明：∵AB是直徑， ∴∠ACB=90°，∴∠PCB+∠ACD=90° 又∵∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．

又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE． ∴∠PFC=∠PCF．

∴PC=PF．

（3）連接AE． ∵∠ACE=∠BCE，∴=， ∴AE=BE．

又∵AB是直徑， ∴∠AEB=90°．AB=， ∴OB=OC=5．

∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P， ∴△PCB∽△PAC． ∴．

∵tan∠PCB=tan∠CAB=, ∴=．

設PB=3x，則PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，

解得x1=0，． ∵x＞0，∴， ∴PF=PC=．