Question

8．在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，下列結(jié)論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CDFE不可能為正方形；
③四邊形CDFE的面積保持不變；
④△CDE面積的最大值為8．
其中正確的結(jié)論有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 連接CF，證明△ADF≌△CEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷①，根據(jù)正方形的判定定理判斷②，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷③，求出△DEF的最小值判斷④．

解答 解；連接CF．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠FCE}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正確；
當(dāng)D、E分別為AC，BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDEF是正方形，②錯(cuò)誤；
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF，
∴四邊形CDFE的面積=S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ACB，
∴四邊形CDFE的面積保持不變，③正確；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴當(dāng)DE最小時(shí)，DF也最小，
即當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DE最小，此時(shí)DF=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴DE=$\sqrt{2}$DF=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)△CDE面積最大時(shí)，此時(shí)△DEF的面積最小，
∴S_△CDE=S_{四邊形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8，④正確，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．