Question

【題目】如圖，已知和均為的等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線交射線于點(diǎn)．

（1）當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖1），求證：為中點(diǎn)；

（2）將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖2），求證：為等邊三角形；

（3）將圖2中繞點(diǎn)繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，點(diǎn)恰好第一次位于線段中點(diǎn)，試作出圖形并直接寫出繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）繞點(diǎn)繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度時(shí)，點(diǎn)恰好第一次位于線段中點(diǎn)

【解析】

(1) 根據(jù)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，可證明，從而，可得到答案；

(2) 先證明，得到，再證由一個(gè)角是60°，即證明是等邊三角形；

(3) 先證明，證，得到是等邊三角形，再利用點(diǎn)恰好第一次位于線段中點(diǎn)，可得到答案.

證明：（1）∵，

∴，，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴，

在和中，

∴，

∴，即為中點(diǎn)．

（2）∵，

∴，（1）中已經(jīng)證明，

∴，

∵，，三點(diǎn)在同一直線上，

∴，

∵，，

在和中，

∴．

∴，．

∴為等邊三角形（由一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．

（3）如圖，當(dāng)繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)在線段上．

繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)30度時(shí)，點(diǎn)恰好第一次位于線段中點(diǎn)．

（附理由：∵，

∴（1）中已經(jīng)證明，

∴，

∵，，

∴．

又，

∴．

∵，

∴．

∴，．

∴為等邊三角形．

∴當(dāng)點(diǎn)恰好位于線段中點(diǎn)時(shí)，，

∴．

∵，

∴，

即繞點(diǎn)繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度時(shí)，點(diǎn)恰好第一次位于線段中點(diǎn)．