Question

18．拋物線y=x²-4與x軸的兩個交點分別為A、B（A在B左側(cè)），與y軸的交點為C．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）將拋物線沿x軸正方向平移t個單位（t＞0），同時將直線l：y=3x沿y軸正方向平移t個單位．平移后的直線為l'，平移后A、B的對應(yīng)點分別為A'、B'．當t為何值時，在直線l'上存在點P，使得△A'B'P是以A'B'為直角邊的等腰直角三角形？

Answer 1

分析 （1）令y=0，即可求出A、B兩點坐標，令x=0，可得點C坐標．
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，可用t表示出直線l′的解析式以及A′、B′的坐標；由于拋物線在向右平移的過程中，開口大小沒有變化，因此A′B′的長度和AB相等，由此可得到A′B′的長；若△A′B′P是以A'B'為直角邊的等腰直角三角形，那么可有兩種情況：①∠PA'B'=90°，此時PA′=A′B′；②∠PB'A'=90°，此時PB′=A′B′；根據(jù)PA′、PB′的表達式及A′B′的長，即可求出t的值．

解答 解：（1）令x=0，y=-4，得點C（0，-4），
令y=0，則x²-4=0，解得x=±2，
∴點A（-2，0），點B（2，0）．
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-4）．

（2）由題意，可得直線l'的解析式為y=3x+t，A'（t-2，0），B'（t+2，0），A'B'=AB=4
∵△A'B'P為以A'B'為直角邊的等腰直角三角形，
∴當∠PA'B'=90°時，點P的坐標為（t-2，4）或（t-2，-4）
∴|3（t-2）+t|=4
解得t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{1}{2}$，
當∠PB'A'=90°時，點P的坐標為（t+2，4）或（t+2，-4）
∴|3（t+2）+t|=4
解得t=-$\frac{5}{2}$或t=-$\frac{1}{2}$（不合題意，舍去）
綜上所述，t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{1}{2}$．

點評 此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到根的判別式、勾股定理、二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，需注意的是在等腰直角三角形的直角頂點不確定的情況下，要分類討論，以免漏解．