Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=12，∠ECF=45°，點F在AB上，EF、CB的延長線交于點G，
                     
若EF=10，請問：
（1）EF、BF、ED之間滿足的數量關系為___________________;
（2）S_△AEF+S_△BGF=_____________________.

Answer 1

（1）EF=ED+BF；（2）48或30

試題分析：（1）把△BCF繞點C順時針旋轉90°到△DCH，根據正方形的性質結合∠ECF=45°可得△ECF≌△ECH，從而得到結果；
（2）設BF=DH=x，則ED=10-x，AF=12-x，則AE=12-（10-x）=2+x，在Rt△AEF中根據勾股定理列方程即可求得x的值，再證得△AEF∽△BGF，根據相似三角形的性質求得BG的長，再根據直角三角形的面積公式即可求得結果.
（1）把△BCF繞點C順時針旋轉90°到△DCH，

則CF=CG，∠BCF=∠DCH，BF=DH
∵正方形ABCD
∴∠BCD=90°
∵∠ECF=45°
∴∠BCF+∠ECD=45°
∴∠DCH+∠ECD=45°，即∠ECH=45°
在△ECF與△ECH中
CF=CG，∠ECF=∠ECH，CE=CE
∴△ECF≌△ECH
∴EF=EH=ED+DH=ED+BF；
（2）設BF=DH=x，則ED=10-x，AF=12-x，則AE=12-（10-x）=2+x，
在Rt△AEF中
解得
∵正方形ABCD
∴AD∥BC
∴△AEF∽△BGF
∴
當BF=DH=4時，AE=6，AF=8，解得BG=3
當BF=DH=6時，AE=8，AF=6，解得BG=8
∴
或
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握旋轉對應邊的夾角是旋轉角，旋轉前后圖形的對應邊、對應角相等.