Question

已知一次函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A．與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)y=

1

2

x2+bx+c圖象與一次函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D的坐標(biāo)為（1，0）
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，一次函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)y=

1

2

x2+bx+c圖象與一次函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，結(jié)合圖象可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，1），D的坐標(biāo)為（1，0），可直接求出解析式．
（2）假設(shè)存在這樣的一點(diǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)不同時(shí)，分三種情況討論．

解答：解：（1）∵由題意知：當(dāng)x=0時(shí)，y=1，∴B（0，1），
由D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）當(dāng)x=1時(shí)，y=0
∴

c=1 1 2 +b+c=0

解得

c=1 b=- 3 2

，
所以y=

1

2

x2-

3

2

x+1

（2）存在；設(shè)P（a，0），

①P為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，過(guò)C作CF⊥x軸于F，∵Rt△BOP∽R(shí)t△PFC，
由題意得，AD=3，OD=1，易知，OB∥CF，
∴

BO

PF

=

OP

CF

．即

1

4-a

=

a

3

，
整理得：a²-4a+3=0，解得a=1或a=3，
此時(shí)所求P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）．
②若B為直角頂點(diǎn)，則有PB²+BC²=PC²
既有1²+a²+4²+2²=3²+（4-a）²
解得a=0.5此時(shí)所求P點(diǎn)坐標(biāo)為（0.5，0）
③若C為直角頂點(diǎn)，則有PC²+BC²=PB²
既有3²+（4-a）²+4²+2²=1²+a²
解得a=5.5此時(shí)所求P點(diǎn)坐標(biāo)為（5.5，0）

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有四個(gè)，分別是（1，0）（3，0）（0.5，0）（5.5，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了（1）利用一次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)B，D的坐標(biāo)為（1，0），用兩點(diǎn)即可求出二次函數(shù)的解析式，
（2）二次函數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題和直角三角形的綜合應(yīng)用．