Question

7．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∠ADC=90°，對角線BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)E．若AD=2，則四邊形BCDE的周長為（　　）

• A． 6+$\sqrt{3}$
• B． 6+2$\sqrt{3}$
• C． 7+$\sqrt{3}$
• D． 7+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)正弦的概念求出DE，根據(jù)余弦的概念求出AE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DC=DE=$\sqrt{3}$，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AB=AD，利用周長公式計算即可．

解答 解：∵∠BAD=120°，
∴∠EAD=60°，
∴DE=AD•sin∠EAD=$\sqrt{3}$，AE=1，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，∠ADC=90°，
∴DC=DE=$\sqrt{3}$，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BC=$\frac{DC}{tan∠DBC}$=3，
∵∠ABC=60°，∠BAD=120°，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD=2，
∴BE=3，
∴四邊形BCDE的周長為3+3+$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=6+2$\sqrt{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查的是角平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的概念，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．