Question

【題目】（定義）如圖1，A，B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，連接AP，則稱(chēng)點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”．

（運(yùn)用）如圖2，在平面直坐標(biāo)系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）兩點(diǎn)．

（1）C（4，），D（4，），E（4，）三點(diǎn)中，點(diǎn)　 　是點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=4的等角點(diǎn)；

（2）若直線l垂直于x軸，點(diǎn)P（m，n）是點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的等角點(diǎn)，其中m＞2，∠APB=α，求證：tan=；

（3）若點(diǎn)P是點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=ax+b（a≠0）的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)∠APB=60°時(shí)，求b的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】（1）C（2）（3）b＜﹣且b≠﹣2或b＞

【解析】

（1）先求出B關(guān)于直線x=4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)，根據(jù)A、B′的坐標(biāo)可得直線AB′的解析式，把x=4代入求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可得答案；（2）如圖：過(guò)點(diǎn)A作直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連A′B′，交直線l于點(diǎn)P，作BH⊥l于點(diǎn)H，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知∠APG=A′PG，由∠AGP=∠BHP=90°可證明△AGP∽△BHP，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得m=

根據(jù)外角性質(zhì)可知∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，根據(jù)正切定義即可得結(jié)論；（3）當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB的右下方，∠APB=60°時(shí)，點(diǎn)P在以AB為弦，所對(duì)圓周為60°，且圓心在AB下方，若直線y=ax+b（a≠0）與圓相交，設(shè)圓與直線y=ax+b（a≠0）的另一個(gè)交點(diǎn)為Q

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可證明△ABQ是等邊三角形，即點(diǎn)Q為定點(diǎn)，若直線y=ax+b（a≠0）與圓相切，易得P、Q重合，所以直線y=ax+b（a≠0）過(guò)定點(diǎn)Q，連OQ，過(guò)點(diǎn)A、Q分別作AM⊥y軸，QN⊥y軸，垂足分別為M、N，可證明△AMO∽△ONQ，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得ON、NQ的長(zhǎng)，即可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A、B、Q的坐標(biāo)可求出直線AQ、BQ的解析式，根據(jù)P與A、B重合時(shí)b的值求出b的取值范圍即可.

（1）點(diǎn)B關(guān)于直線x=4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′（10，﹣），

∴直線AB′解析式為：y=﹣，

當(dāng)x=4時(shí)，y=，

故答案為：C

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連A′B′，交直線l于點(diǎn)P

作BH⊥l于點(diǎn)H

∵點(diǎn)A和A′關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)

∴∠APG=∠A′PG

∵∠BPH=∠A′PG

∴∠APG=∠BPH

∵∠AGP=∠BHP=90°

∴△AGP∽△BHP

∴，即，

∴mn=2，即m=，

∵∠APB=α，AP=AP′，

∴∠A=∠A′=，

在Rt△AGP中，tan

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB的右下方，∠APB=60°時(shí)，

點(diǎn)P在以AB為弦，所對(duì)圓周為60°，且圓心在AB下方

若直線y=ax+b（a≠0）與圓相交，設(shè)圓與直線y=ax+b（a≠0）的另一個(gè)交點(diǎn)為Q

由對(duì)稱(chēng)性可知：∠APQ=∠A′PQ，

又∠APB=60°

∴∠APQ=∠A′PQ=60°

∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°

∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ

∴△ABQ是等邊三角形

∵線段AB為定線段

∴點(diǎn)Q為定點(diǎn)

若直線y=ax+b（a≠0）與圓相切，易得P、Q重合

∴直線y=ax+b（a≠0）過(guò)定點(diǎn)Q

連OQ，過(guò)點(diǎn)A、Q分別作AM⊥y軸，QN⊥y軸，垂足分別為M、N

∵A（2，），B（﹣2，﹣）

∴OA=OB=

∵△ABQ是等邊三角形

∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，

∴∠AOM+∠NOD=90°

又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO

∵∠AMO=∠ONQ=90°

∴△AMO∽△ONQ

∴,

∴，

∴ON=2，NQ=3，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣2）

設(shè)直線BQ解析式為y=kx+b

將B、Q坐標(biāo)代入得

，

解得

，

∴直線BQ的解析式為：y=﹣，

設(shè)直線AQ的解析式為：y=mx+n，

將A、Q兩點(diǎn)代入，

解得 ，

∴直線AQ的解析式為：y=﹣3，

若點(diǎn)P與B點(diǎn)重合，則直線PQ與直線BQ重合，此時(shí)，b=﹣，

若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，則直線PQ與直線AQ重合，此時(shí)，b=，

又∵y=ax+b（a≠0），且點(diǎn)P位于AB右下方，

∴b＜﹣ 且b≠﹣2或b＞.