已知二次函數(shù)y=x2+px+q(p,q為常數(shù),△=p2-4q>0)的圖象與x軸相交于A(x1,0),B(x2,0)兩點,且A,B兩點間的距離為d,例如,通過研究其中一個函數(shù)y=x2-5x+6及圖象(如圖),可得出表中第2行的相關數(shù)據(jù).
(1)在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù);
(2)根據(jù)上述表內(nèi)d與△的值,猜想它們之間有什么關系?再舉一個符合條件的二次函數(shù),驗證你的猜想;
(3)對于函數(shù)y=x2+px+q(p,q為常數(shù),△=p2-4q>0)證明你的猜想.聰明的小伙伴:你能再給出一種不同于(3)的正確證明嗎?我們將對你的出色表現(xiàn)另外獎勵3分.
y=x2+px+qpqx1x2d
y=x2-5x+6-561231
y=x2-
1
2
x
-
1
2
1
4
1
2
y=x2+x-2-2-23
(1)易得第三行q=0,x1=0,d=
1
2
;第四行為p=1,△=9,x2=1;

(2)猜想:d2=△.
例如:y=x2-x-2中;p=-1,q=-2,△=9;
由x2-x-2=0得x1=2,x2=-1,d=3,d2=9,
∴d2=△;

(3)證明.令y=0,得x2+px+q=0,
∵△>0
設x2+px+q=0的兩根為x1,x2,
則x1+x2=-p,x1•x2=q,
d2=(|x1-x2|)2=(x1-x22=(x1+x22-4x1•x2
=(-p)2-4q=p2-4q=△,
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,一次函數(shù)y=x+m圖象過點A(1,0),交y軸于點B,C為y軸負半軸上一點,且BC=2OB,過A、C兩點的拋物線交直線AB于點D,且CDx軸.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)觀察圖象,寫出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值時x的取值范圍;
(3)在這條拋物線上是否存在一點M使得∠ADM為直角?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,直線AC分別交x軸y軸于點A(8,0)、C,拋物線y=-
1
4
x2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A,B兩點;且OB=OC=
1
2
OA,一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移,交拋物線于點P,連接PB、設直線l移動的時間為t秒,
(1)求拋物線解析式;
(2)當0<t<4時,求四邊形PBCA的面積S(面積單位)與t(秒)的函數(shù)關系式,并求出四邊形PBCA的最大面積;
(3)在直線l的移動過程中,直線AC上是否存在一點Q,使得P、Q、B、A四點構成的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

有一座拋物線形拱橋,正常水位時橋下水面寬度為20米,拱頂距離水面4米.設正常水位時橋下的水深為2米,為保證過往船只順利航行,橋下水面的寬度不得小于18米,則水深超過______米時就會影響過往船只在橋下的順利航行.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于不同的兩點A(x1,0)和B(x2,0)與y軸的正半軸交于點C,如果x1、x2是方程x2-x-6=0的兩個根(x1<x2)且△ABC的面積為
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2

(1)求此拋物線解析式;
(2)求直線AC的解析式;
(3)求直線BC的解析式.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=-x2+(m-2)x+m+1.
(1)試說明:不論m取任何實數(shù),這個二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個交點.
(2)當m為何值時,這兩個交點都在原點的左側?
(3)當m為何值時,這個二次函數(shù)的圖象的對稱軸是y軸?

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

是否存在這樣的實數(shù)k,使得二次方程x2+(2k-1)x-(3k+2)=0有兩個實數(shù)根,且兩根都在2與4之間?如果有,試確定k的取值范圍;如果沒有,試述理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知關于x的二次函數(shù)y=x2-mx+
m2+1
2
y=x2-mx-
m2+2
2
,這兩個二次函數(shù)圖象中只有一個圖象與x軸交于A,B兩個不同的點.
(l)試判斷哪個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A,B兩點;
(2)若A點坐標為(-1,0),試求該二次函數(shù)的對稱軸.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,Q(n,2)是圖象上的一點,且AQ⊥BQ,則a的值為( 。
A.-
1
3
B.-
1
2
C.-1D.-2

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