Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝－與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－3，0）.

（1）求b的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ與△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1），B的坐標(biāo)為（1，0）；（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；（3）當(dāng)t＝1秒或秒時(shí)，△PBQ與△ABC相似

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入中可解得b的值，由此可得拋物線的解析式，在所得解析式中令y=0得到關(guān)于x的方程，解方程即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）由（1）中所得拋物線的解析式可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可求得OA、OB、OC和AB的長(zhǎng)度，這樣由勾股定理可求得AC和BC的長(zhǎng)，再證AB2=AC2+BC2可得△ABC是直角三角形；

（3）由題意用含t的代數(shù)式表達(dá)出BP和BQ的長(zhǎng)度，結(jié)合∠ABC是公共角，∠ACB=90°，分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°兩種情況進(jìn)行討論即可求得△PBQ與△ABC相似時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值.

（1）將點(diǎn)A（－3，0）代入拋物線可得：，解得：，

∴拋物線的解析式為：，

令y＝0，得，解得x1＝-3， x2=1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（1，0）；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：

對(duì)于拋物線，令x＝0，得y＝，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），

∴OC=，OA=3，OB=1，AB=4，

∴在Rt△AOC中，由勾股定理可得AC=，在Rt△COB中，由勾股定理可得BC=2，

∴AC2+BC2=12+4=16=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）由題意可得：AP＝2t，BP＝4－2t，BQ＝t，CQ＝2－t，

∵在△ABC和△PBQ中，∠ABC和∠PBQ是公共角，∠ACB=90°，

∴若△PBQ與△ABC相似，則∠PQB＝90°或∠QPB＝90°，

①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，易得AC∥PQ，則△PQB~△ACB，

∴ ，即，解得t＝1；

②當(dāng)∠QPB＝90°，則△QPB~△ACB，

∴ ，即，解得；

綜上所述：當(dāng)t＝1秒或秒時(shí)，△PBQ與△ABC相似.