Question

【題目】如圖，已知長方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B（8，6），直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)A交BC于D、交y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，直線OP交AB于點(diǎn)E

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線OP的解析式；

（2）求△ODP的面積，并在直線AD上找一點(diǎn)N，使△AEN的面積等于△ODP的面積，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)

（3）在x軸上有一點(diǎn)T（t，0）（5＜t＜8），過點(diǎn)T作x軸的垂線，分別交直線OE、AD于點(diǎn)F、G，在線段AE上是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，6）．直線OP的解析式為y=x．（2）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，5）或（13，-5）．（3）在線段AE上存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，當(dāng)t=時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，）或（8，），當(dāng)t=時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，）．

【解析】

（1）根據(jù)長方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AD的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再由點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出正比例函數(shù)OP的解析式；

（2）利用三角形面積的公式可求出S△ODP的值，由直線OP的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-m+8），由△AEN的面積等于△ODP的面積，可得出關(guān)于m的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出m的值，再將其代入點(diǎn)N的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論；

（3）由點(diǎn)T的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F，G的坐標(biāo)，分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三種情況考慮：①當(dāng)∠FGQ=90°時(shí)，根據(jù)等腰直角三角形兩直角邊相等可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②當(dāng)∠GFQ=90°時(shí)，根據(jù)等腰直角三角形兩直角邊相等可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；③當(dāng)∠FQG=90°時(shí)，過點(diǎn)Q作QS⊥FG于點(diǎn)S，根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于斜邊上高的二倍可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．綜上，此題得解．

（1）∵四邊形OABC為長方形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），BC∥x軸．

∵直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)A，

∴0=-8+b，

∴b=8，

∴直線AD的解析式為y=-x+8．

當(dāng)y=6時(shí)，有-x+8=6，

解得：x=2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，6）．

∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），即（5，3），

∴直線OP的解析式為y=x．

（2）S△ODP=S△ODA-S△OPA，

=×8×6-×8×3，

=12．

當(dāng)x=8時(shí)，y=x=，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，）．

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-m+8）．

∵S△AEN=S△ODP，

∴××|8-m|=12，

解得：m=3或m=13，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，5）或（13，-5）．

（3）∵點(diǎn)T的坐標(biāo)為（t，0）（5＜t＜8），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，t），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（t，-t+8）．

分三種情況考慮：

①當(dāng)∠FGQ=90°時(shí)，如圖1所示．

∵△FGQ為等腰直角三角形，

∴FG=GQ，即t-（-t+8）=8-t，

解得：t=，

此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，）；

②當(dāng)∠GFQ=90°時(shí)，如圖2所示．

∵△FGQ為等腰直角三角形，

∴FG=FQ，即t-（-t+8）=8-t，

解得：t=，

此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，）；

③當(dāng)∠FQG=90°時(shí)，過點(diǎn)Q作QS⊥FG于點(diǎn)S，如圖3所示．

∵△FGQ為等腰直角三角形，

∴FG=2QS，即t-（-t+8）=2（8-t），

解得：t=，

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，4），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，）

此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，）.

綜上所述：在線段AE上存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，當(dāng)t=時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，）或（8，），當(dāng)t=時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，）．