Question

8．已知如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A（-6，0），B（0，6），對稱軸為直線x=-2，頂點為點C，點B關(guān)于直線x=-2的對稱點為點D．
（1）求二次函數(shù)的解析式以及點C和點D的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AB、BC、CD、DA，點E在線段AB上，聯(lián)結(jié)DE，若DE平分四邊形ABCD的面積，求線段AE的長；
（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，能夠使∠PCA=∠BAC？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)對稱軸為直線x=2，根據(jù)A坐標(biāo)確定出二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標(biāo)，設(shè)出二次函數(shù)解析式為y=a（x+6）（x-2），把C坐標(biāo)代入求出a的值，確定出二次函數(shù)解析式，進而確定出C與D坐標(biāo)即可；
（2）連接AB、BC、CD、DA，點E在線段AB上，連接DE，如圖1所示，利用勾股定理求出AB，BC，CD與BD的長，根據(jù)直線CD與直線AB斜率相等，得到DC與AB平行，繼而得到四邊形ABCD為直角梯形，若DE平分四邊形ABCD的面積，可得直角梯形面積等于三角形ADE面積的2倍，求出AE的長即可；
（3）在二次函數(shù)的圖象上存在點P，能夠使∠PCA=∠BAC，如圖2所示，直線CP與AB交于點G，可得GA=GC，根據(jù)直線AB解析式設(shè)出G坐標(biāo)（x，x+6），利用兩點間的距離公式求出x的值，確定出G坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線CG解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求出P坐標(biāo)；由（2）得到四邊形ABCD為直角梯形，即DC與AB平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到P與D重合時，滿足題意，確定出此時P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)經(jīng)過A（-6，0），B（0，6），對稱軸為直線x=2，
∴二次函數(shù)圖象經(jīng)過（2，0），
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x+6）（x-2），
把B（0，6）代入得：6=-12a，即a=-$\frac{1}{2}$，
∴二次函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+6）（x-2）=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6=-$\frac{1}{2}$（x+2）²+8，
則C（-2，8），D（-4，6）；
（2）如圖1所示，由題意得：AB=6$\sqrt{2}$，BC=CD=2$\sqrt{2}$，BD=4，

∵BD²=CD²+BC²，
∴∠DCB=90°，
∵直線AB的解析式為y=x+6，直線DC解析式為y=x+10，
∴DC∥AB，
∴四邊形ABCD為直角梯形，
若S_梯形ABCD=2S_△ADE，即$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（2$\sqrt{2}$+6$\sqrt{2}$）=2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×AE，
解得：AE=4$\sqrt{2}$；
（3）如圖2，在二次函數(shù)的圖象上存在點P，使∠PCA=∠BAC，直線CP與AB交于點G，可得GA=GC，

∵A（-6，0），C（-2，8），直線AB解析式為y=x+6，設(shè)G（x，x+6），
∴$\sqrt{（x+6）^{2}+（x+6）^{2}}$=$\sqrt{（x+2）^{2}+（x-2）^{2}}$，
兩邊平方得：2x²+24x+72=2x²+8，
移項合并得：24x=-64，
解得：x=-$\frac{8}{3}$，經(jīng)檢驗是原方程的根且符合題意，
∴G（-$\frac{8}{3}$，$\frac{10}{3}$），
設(shè)直線CG解析式為y=kx+b，
把C與G坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{8}{3}k+b=\frac{10}{3}}\\{-2k+b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=7}\\{b=22}\end{array}\right.$，
∴直線CG解析式為y=7x+22，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=7x+22}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-16}\\{y=-90}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=8}\end{array}\right.$（經(jīng)檢驗不合題意，舍去），
∴P坐標(biāo)為（-16，-90）；
由（2）得到四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
此時P與D重合，即P（-4，6），
綜上，滿足題意P的坐標(biāo)為（-16，-90）或（-4，6）．

點評 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，直角梯形的判定，直線與二次函數(shù)的交點，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．