Question

（11·大連）（本題11分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別
為(0，2)、(－1，0)、(4，0)．P是線(xiàn)段OC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、C不重合），過(guò)點(diǎn)P
的直線(xiàn)x＝t與AC相交于點(diǎn)Q．設(shè)四邊形ABPQ關(guān)于直線(xiàn)x＝t的對(duì)稱(chēng)的圖形與△QPC重疊
部分的面積為S．
（1）點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)x＝t的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_(kāi)_______；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）（2t＋1，0）…………………………2分
（2）① 如圖，點(diǎn)B’在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，2t＋1＜4 解得t＜1.5


當(dāng)0＜t＜1.5時(shí)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)x＝t的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’，A’B’與AC相交于點(diǎn)D，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，PC＝4－t，B’C＝4－(2t＋1)＝3－2t……………………3分
設(shè)直線(xiàn)AC解析式為y＝kx＋b，
將A（0，2），C（4，0）分別代入解析式得，

由對(duì)稱(chēng)性可知，∠ABO＝∠DB’E，又∵∠AOB＝∠DEB’
∴△ABO∽△DB’E
②當(dāng)1.5≤t＜4時(shí)，點(diǎn)B’在點(diǎn)C的右側(cè)或與點(diǎn)C重合（如圖2）


另外的解法：如圖，當(dāng)1.5≤t＜4時(shí)，重合部分為三角形△CPQ，如圖2
∵△CPQ∽△COA，
∵ ，
即，
則PQ＝．
于是S_△QPC＝（4－t）＝（1.5＜t≤4），
如圖當(dāng)0＜t＜1.5時(shí)，重合部分為四邊形DQPB’，

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴A′點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，2），
又∵B′點(diǎn)坐標(biāo)為（2t＋1，0），
設(shè)直線(xiàn)A′B′解析式為y＝kx＋b，則將A′（2t，2），
和B′（2t＋1，0）分別代入解析式得，，
解得k＝－2，b＝2＋4t．
解析式為y＝－2x＋（2＋4t），
將y＝－x＋2和y＝－x＋（2＋4t）組成方程組得，
解得，
D點(diǎn)坐標(biāo)為（8t，－4t＋2）．
由于B′坐標(biāo)為（2t＋1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
故B′C＝4－（2t＋1）＝3－2t，
S_△QPC＝（4－t）＝，
S_{四邊形QPB′D}＝S_△QPC－S_△DB′C＝－（3－2t）（－4t＋2）＝－t²＋6t＋1（0＜t≤1.5）．

解析