Question

【題目】【問題情境】如圖①，在△ABC中，AB=AC，點P為邊BC上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．

小麗給出的提示是：如圖②，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．

請根據小麗的提示進行證明．

【變式探究】如圖③，當點P在BC延長線上時，其余條件不變，試猜想PD、PE、CF三者之間的數量關系并證明．

【結論運用】如圖④，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．

Answer 1

【答案】見解析；CF=PD+PE ；PG+PH的值為4．

【解析】【問題情境】

分析：【問題情境】連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．

【變式探究】連接AP，由△ABP與△ACP面積之差等于△ABC的面積可以證得：CF=PD-PE．

【結論運用】先證BE=BF，過點E作EQ⊥BF，垂足為Q，利用問題情境中的結論可得PG+PH=EQ，易證EQ=DC，故只需求出DC即可．

詳解：證明：連接AP，如圖②，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP+S△ACP，

∴ABCF=ABPD+ACPE．

∵AB=AC，

∴CF=PD+PE．

【變式探究】

證明：連接AP，如圖③．

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP，

∴ABCF=ABPD﹣ACPE．

∵AB=AC，

∴CF=PD﹣PE．

【結論運用】

過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖④，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．

∵AD=8，CF=3，

∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．

由折疊可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．

∴DF=5．

∵∠C=90°，

∴DC==4．

∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，

∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC，

∴四邊形EQCD是矩形，

∴EQ=DC=4．

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB．

∵∠BEF=∠DEF，

∴∠BEF=∠EFB，

∴BE=BF．

由問題情境中的結論可得：PG+PH=EQ，

∴PG+PH=4，

∴PG+PH的值為4．