Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)H在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（4）若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+4；

（2）△ABC是直角三角形；

（3）若點(diǎn)H在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）；

（4）當(dāng)t=3時(shí)，△AMN面積最大，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0）．

【解析】

試題分析：（1）將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+x+c，得到關(guān)于a、c的二元一次方程組，解方程組求出a、c的值，即可求得拋物線的解析式；

（2）先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再計(jì)算得出AB2+AC2=BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；

（3）設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（n，0），得出AC2=80，AH2=n2+16，HC2=（n﹣8）2=n2﹣16n+64．當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①AH=AC；②HC=AC；③AH=HC；分別列出關(guān)于n的方程，解方程即可；

（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，0），那么BN=t+2，過(guò)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D．根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，求出MD=（t+2），再根據(jù)S△AMN=S△ABN﹣S△BMN，得出S△AMN=﹣（t﹣3）2+5，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+x+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，4），C（8，0），

∴，

解得，

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+4；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：

∵y=﹣x2+x+4，

∴當(dāng)y=0時(shí)，﹣ x2+x+4=0，

解得x1=8，x2=﹣2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0）．

在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2=42+22=20，

在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2=42+82=80，

∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中，AB2+AC2=20+80=100=102=BC2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（n，0），則AC2=80，AH2=n2+16，HC2=（n﹣8）2=n2﹣16n+64．

當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，可分三種情況：

①如果AH=AC，那么n2+16=80，解得n=±8（正值舍去），

此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣8，0）；

②如果HC=AC，那么（n﹣8）2=80，解得n=8±4，

此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（8+4，0）或（8﹣4，0）；

③如果AH=HC，那么n2+16=n2﹣16n+64，解得n=3，

此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（3，0）；

綜上所述，若點(diǎn)H在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）；

（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，0），則BN=t+2，過(guò)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D．

∵M(jìn)D∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴，

∵NM∥AC，

∴，

∴，

∵AO=4，BC=10，BN=t+2，

∴MD=（t+2），

∴S△AMN=S△ABN﹣S△BMN

=BNOA﹣BNMD

=×（t+2）×4﹣×（t+2）×（t+2）

=﹣t2+t+

=﹣（t﹣3）2+5，

∴當(dāng)t=3時(shí)，△AMN面積最大，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0）．