Question

如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)P為矩形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC、PD．求證：PA²＋PC²＝PB²＋PD²．

Answer 1

答案：
解析：

分析：構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理證明． 　　證明：過(guò)點(diǎn)P作EF⊥AB，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，作GH⊥BC，交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，則EF⊥CD，GH⊥AD，AE＝DF，BE＝PH，CH＝PF． 　　在Rt△AEP、Rt△BEP、Rt△CHP、Rt△DFP中，分別運(yùn)用勾股定理，得PA2＝AE2＋PE2，PB2＝BE2＋PE2，PC2＝PH2＋CH2，PD2＝PF2＋DF2． 　　所以PA2＋PC2＝AE2＋PE2＋PH2＋CH2＝DF2＋PE2＋BE2＋PF2＝(BE2＋PE2)＋(PF2＋DF2)＝PB2＋PD2． 　　所以PA2＋PC2＝PB2＋PD2． 　　點(diǎn)評(píng)：當(dāng)點(diǎn)P在矩形的一條邊上或在矩形的外部時(shí)，上述結(jié)論同樣成立．有興趣的同學(xué)可以證明一下．