Question

3．如圖，已知△OAB的頂點A（-6，0），B（0，2），O是坐標原點，將△OAB繞點O按順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODC．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A，D，C三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P從點A出發(fā)，以每秒$\sqrt{2}$個單位的速度沿射線AD運動，過點P作PH垂直射線CD，垂足為H，PH交y軸于F，設DF的長度為d（d≠0），運動時間為t，求d與t的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，E為拋物線的頂點，連接BC、AE，當△APE與△ABC相似時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、D、C的坐標用待定系數(shù)法求解析式．
（2）先求出直線CD，再求出直線PH得到點F的坐標，分0＜t≤6和t＞6兩種情形討論．
（3）先證明∠EAP=∠BAC，再分兩種情形討論：①當$\frac{AE}{AC}=\frac{A{P}_{1}}{AB}$時，△ABC∽△AP₁E，②當$\frac{AE}{AB}=\frac{A{P}_{2}}{AC}$時，△AEP₂∽△ABC，分別列出方程求解．

解答 解：（1）由題意D（0，6），C（2，0），A（-6，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A，D，C三點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=6}\\{4a+2b+c=0}\\{36a-6b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6．
（2）設直線CD為y+kx+b，
∵經(jīng)過D（0，6），C（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線CD為y=-3x+6，設P（m，m+6），直線PH為：y=$\frac{1}{3}$x+b′，
∴m+6=$\frac{1}{3}$m+b′，
∴b′=$\frac{2}{3}$m+6，
∴直線PH為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$m+6，
∴點F（0，$\frac{2}{3}$m+6）
∴當0＜t≤6時，d=OD-OF=6-（$\frac{2}{3}m+6$）=-$\frac{2}{3}$m，
當t＞6時，d=OF-OD=$\frac{2}{3}$m+6-6=$\frac{2}{3}$m．
（3）如圖作EK⊥OD垂足為K，
∵拋物線頂點E（2，8），
∴EK=BO=2，BK=AO=6，
在△BEK和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{EK=BO}\\{∠EKB=∠AOB}\\{BK=AO}\end{array}\right.$，
∴△BEK≌△ABO，
∴EB=AB，∠EBK=∠BAO，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠EBK+∠ABO=90°，
∴∠EBA=90°，AE$\frac{AE}{AB}=\frac{A{P}_{2}}{AC}$
∴∠EAB=∠AEB=∠DAO=45°，
∴∠EAP=∠BAC，
①當$\frac{AE}{AC}=\frac{A{P}_{1}}{AB}$時，△ABC∽△AP₁E，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{2}t}{2\sqrt{10}}$，
∴t=5，
②當$\frac{AE}{AB}=\frac{A{P}_{2}}{AC}$時，△AEP₂∽△ABC，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}t}{8}$，
∴t=8．
∴t=5或8秒時，△APE與△ABC相似．

點評 本題考查用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強，難度適中，通過此題的訓練可以提高綜合運用知識的能力．