Question

在△ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足∠DBE=

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∠ABC．
（1）如圖1，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），連接DE′．求證：DE′=DE；
（2）如圖2，若∠ABC=90°，AD=4，EC=2，求DE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，則∠E′BE=∠ABC，再利用∠DBE=

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∠ABC易得∠DBE′=∠DBE，根據(jù)“SAS”判斷△BDE′≌△BDE，所以DE′=DE；
（2）以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），如圖2，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得∠BCE=∠BAD=45°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，則∠DAE′=90°，在Rt△DAE′中利用勾股定理可計(jì)算出DE′=2

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，然后就根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到DE=DE′=2

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．

解答：（1）證明：∵以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），
∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，
∴∠E′BE=∠ABC，
∵∠DBE=

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2

∠ABC，
∴∠DBE=

1

2

∠E′BE，即∠DBE′=∠DBE，
在△BDE′和△BDE中，

BD=BD ∠DBE′=∠DBE BE′=BE

，
∴△BDE′≌△BDE（SAS），
∴DE′=DE；
（2）解：以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△EBC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△E′BA（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E′處），如圖2，
∵∠ABC=90°，BA=BC，
∴∠BCE=∠BAD=45°，
∵△EBC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△E′BA，
∴∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，
∴∠DAE′=∠BAD+∠BAE′=90°，
在Rt△DAE′中，∵DE′²=AD²+AE′²=4²+2²=20，
∴DE′=2

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，
由（1）的結(jié)論得DE=DE′=2

5

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．