Question

16．如圖，一次函數(shù)y=mx+5的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的圖象交于A（1，n）和B（4，1）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為M，
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式； 
（2）請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出不等式$\frac{k}{x}$＞mx+5的解集；
（3）連結(jié)OB，求S_△AOB；
（4）在y軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可得出不等式的解集；
（3）連接OB，令直線AB與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E，利用分割圖形求面積法結(jié)合梯形的面積公式、三角形的面積公式以及反比例系數(shù)k的幾何意義即可得出結(jié)論；
（4）作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交y軸于點(diǎn)P，連接PB，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)找出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB′的解析式，令x=0求出y值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B（4，1）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象上，
∴1=$\frac{k}{4}$，解得：k=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$．
∵點(diǎn)B（4，1）在一次函數(shù)y=mx+5的圖象上，
∴1=4m+5，解得：m=-1，
∴一次函數(shù)解析式為y=-x+5．
（2）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)0＜x＜1或x＞4時(shí)，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，
∴不等式$\frac{k}{x}$＞mx+5的解集為0＜x＜1或x＞4．
（3）連接OB，令直線AB與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E，如圖1所示．
令y=$\frac{4}{x}$中x=1，則y=4，
∴點(diǎn)A（1，4）．
令y=-x+5中y=0，則x=5，
∴點(diǎn)E（5，0），
∴AM=1，OE=5，MO=4，
∴S_△AOB=S_梯形MOEA-S_△OAM-S_△OBE=$\frac{1}{2}$（AM+OE）•MO-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$OE•y_B=$\frac{1}{2}$×（1+5）×4-$\frac{1}{2}$×4-$\frac{1}{2}$×5×1=$\frac{15}{2}$．
（4）作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交y軸于點(diǎn)P，連接PB，如圖2所示．
∵點(diǎn)B、B′關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴PB=PB′，
∴PB+PA=PB′+PA=AB′，
∵兩點(diǎn)之間直線最短，
∴此時(shí)PA+PB最�。�
∵點(diǎn)B（4，1），
∴點(diǎn)B′（-4，1），
設(shè)直線AB′的解析式為y=ax+b，
將點(diǎn)A（1，4）、B′（-4，1）代入y=ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4=a+b}\\{1=-4a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{5}}\\{b=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線AB′的解析式為y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$．
令y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$中x=0，則y=$\frac{17}{5}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，$\frac{17}{5}$）．
故在y軸上存在點(diǎn)P（0，$\frac{17}{5}$），使PA+PB最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式、梯形的面積公式、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及軸對(duì)稱中的最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式；（3）利用分割圖形求面積法求出△AOB的面積；（4）確定點(diǎn)P的位置．本題屬于中檔題，難度不大，本題的難點(diǎn)在于求△AOB的面積，本題中巧妙的利用分割法求面積，給解題帶來了方便．