Question

【題目】如圖，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連結BF．

（1）求證：①△EAF≌△EDC；
②D是BC的中點；
（2）若AB=AC，求證：四邊形AFBD是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵點E為AD的中點，

∴AE=DE，

在△AEF和△EDC中， ，

∴△EAF≌△EDC（AAS）；

②∵△AEF≌△DEC，

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD；

即D是BC的中點

（2）證明：∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴平行四邊形AFBD是矩形

【解析】（1）①由AF∥BC，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AFE=∠DCE，由點E為AD的中點，得出AE=DE，然后再證明三角形全等即可。②由全等三角形的性質容易得出結論；
（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據一個角是直角的平行四邊形是矩形判定即可。

【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質和矩形的判定方法的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．