Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線(xiàn)段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠BQD=30°，

∴∠QPC=90°，

設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，

∴QC=QB+BC=6+x，

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，

∴PC= QC，即6﹣x= （6+x），解得x=2，

∴AP=2

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．理由如下：

作QF⊥AB，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F，連接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ=∠AEP=90°，

∵點(diǎn)P、Q速度相同，

∴AP=BQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，

在△APE和△BQF中，

∵∠AEP=∠BFQ=90°，

∴∠APE=∠BQF，

，

∴△APE≌△BQF（AAS），

∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，

∴四邊形PEQF是平行四邊形，

∴DE= EF，

∵EB+AE=BE+BF=AB，

∴DE= AB，

又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，

∴DE=3，

∴點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．

【解析】（1）由△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC= QC，即6﹣x= （6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F，連接QE，PF，由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE= AB，由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6可得出DE=3，故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．