Question

2．如圖，過點(diǎn)C（4，3）的拋物線的頂點(diǎn)為M（2，-1），交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，求使△PBC為直角三角形的點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，且tan∠AQB=2，線段DQ是否存在最小值，如果存在直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求出拋物線三角形；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出PB²，PC²，BC²，分三種情況用勾股定理計(jì)算即可；
（3）根據(jù)tan∠AQB=2找出點(diǎn)Q的位置，用DE減去圓的半徑即可．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為M（2，-1），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²-1，
∵拋物線過點(diǎn)C（4，3），
∴3=a×4-1，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-2）²-1=x²-4x+3，
∵拋物線交y軸于點(diǎn)D，
∴點(diǎn)D（0，3），
（2）由（1）得，拋物線的解析式為y=（x-2）²-1，
∴拋物線的對稱軸為x=2，
設(shè)點(diǎn)P（2，m），
∵拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，
∴A（1，0），B（3，0），
∴PB²=1+m²，PC²=4+（m-3）²，BC²=1²+3²=10，
∵△PBC為直角三角形，
①當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，
∴PB²+PC²=BC²，
∴1+m²+（m-3）²=10，
∴m₁=1，m₂=2，
∴P（2，1），或P（2，2），
②當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，
∴PB²+BC²=PC²，
∴10+1+m²=4+（m-3）²，
∴m=$\frac{1}{3}$，
∴P（2，$\frac{1}{3}$），
③當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，
∴PB²=BC²+PC²，
∴1+m²=4+（m-3）²+10，
∴m=$\frac{11}{3}$，
∴P（2，$\frac{11}{3}$），
∴使△PBC為直角三角形的點(diǎn)P坐標(biāo)P（2，1）或P（2，2）或P（2，$\frac{1}{3}$）或P（2，$\frac{11}{3}$）；
（3）如圖，

由（2）有，A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
過點(diǎn)B作BF⊥AB，截取BF=$\frac{1}{2}$AB=1，
連接AF，
∴根據(jù)勾股定理得，AF=$\sqrt{5}$，
以AF為直徑作圓，圓心為點(diǎn)E，則點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，
∴EG=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)E（2，$\frac{1}{2}$），
∵∠AQB=∠AFB，
連接DE，交⊙E于Q，所以此時(shí)線段DQ最小，
∵D（0，3），
∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{1}{2}-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∴DQ=DE-QE=DE-$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{41}-\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，勾股定理，圓周角的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是利用勾股定理求點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用圓周角的性質(zhì)找出點(diǎn)Q的位置是解本題的難點(diǎn)．