【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),頂點(diǎn)為.直線軸于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn)

求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo);

點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若以,,,為頂點(diǎn)的四邊形僅有一組對(duì)邊平行,求點(diǎn)的坐標(biāo);

連接,點(diǎn)在直線上,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,點(diǎn)到點(diǎn)的距離為,求的最小值.

【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為;(2)點(diǎn)坐標(biāo)為,;(3)12.

【解析】

(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y=ax2+1,然后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入進(jìn)行計(jì)算即可得解;求出拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B,然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線DB的解析式,令x=0求出y的值即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)根據(jù)四邊形僅有一組對(duì)邊平行,分①APBE,求出直線AP的解析式,再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線BE的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo);②ABPE,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱;③BPAE,根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出AE的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)過(guò)點(diǎn)PPMx軸于點(diǎn)M,PNy軸于點(diǎn)N,根據(jù)點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)可以求出∠APM=60°,BPM=30°,APN=30°,然后求出PA是∠BPN的平分線,過(guò)點(diǎn)FFHPN于點(diǎn)H,連接DF、DH,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得FH=m,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)D、F、H三點(diǎn)共線時(shí),m+n的值最小,此時(shí),點(diǎn)F為直線APy軸的交點(diǎn),m+n=PN,然后求解即可.

∵拋物線頂點(diǎn)為,

∴設(shè)拋物線的解析式是,

又∵點(diǎn)在拋物線上,

,

解得,

∴拋物線的解析式為;

,則,

解得,

∴點(diǎn),點(diǎn),

設(shè)直線的解析式為,

,

解得,

∴直線的解析式為,

,則,

所以,點(diǎn)的坐標(biāo)為;

時(shí),設(shè)直線的解析式為,

解得,

所以,直線的解析式為,

設(shè)直線的解析式為

,

解得

所以,直線的解析式為,

,(為點(diǎn)的坐標(biāo)),

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為;

時(shí),∵拋物線關(guān)于軸對(duì)稱,

∴點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),

∴點(diǎn);

時(shí),∵直線的解析式為,

∴設(shè)直線的解析式為,

解得,

∴直線的解析式為,

,得(為點(diǎn)坐標(biāo)),

所以,點(diǎn)坐標(biāo)為,

綜上所述,點(diǎn)坐標(biāo)為,;

如圖,過(guò)點(diǎn)軸于點(diǎn),軸于點(diǎn)

,,,

,

,,

,

又∵,

,

點(diǎn)在直線上,過(guò)點(diǎn)于點(diǎn),根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得,

連接、,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,,

,

所以,當(dāng)點(diǎn)、三點(diǎn)共線時(shí),的最小值,

此時(shí),點(diǎn)為直線軸的交點(diǎn),點(diǎn)、重合,

最小值

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(2)求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);

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