【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),頂點(diǎn)為.直線交軸于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn).
求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo);
點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若以,,,為頂點(diǎn)的四邊形僅有一組對(duì)邊平行,求點(diǎn)的坐標(biāo);
連接,點(diǎn)在直線上,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,點(diǎn)到點(diǎn)的距離為,求的最小值.
【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為;(2)點(diǎn)坐標(biāo)為,,;(3)12.
【解析】
(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y=ax2+1,然后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入進(jìn)行計(jì)算即可得解;求出拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B,然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線DB的解析式,令x=0求出y的值即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)根據(jù)四邊形僅有一組對(duì)邊平行,分①AP∥BE,求出直線AP的解析式,再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出直線BE的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo);②AB∥PE,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱;③BP∥AE,根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出AE的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,PN⊥y軸于點(diǎn)N,根據(jù)點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)可以求出∠APM=60°,∠BPM=30°,∠APN=30°,然后求出PA是∠BPN的平分線,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥PN于點(diǎn)H,連接DF、DH,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得FH=m,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)D、F、H三點(diǎn)共線時(shí),m+n的值最小,此時(shí),點(diǎn)F為直線AP與y軸的交點(diǎn),m+n=PN,然后求解即可.
∵拋物線頂點(diǎn)為,
∴設(shè)拋物線的解析式是,
又∵點(diǎn)在拋物線上,
∴,
解得,
∴拋物線的解析式為;
令,則,
解得,,
∴點(diǎn),點(diǎn),
設(shè)直線的解析式為,
則,
解得,
∴直線的解析式為,
令,則,
所以,點(diǎn)的坐標(biāo)為;
①時(shí),設(shè)直線的解析式為,
則,
解得,
所以,直線的解析式為,
設(shè)直線的解析式為,
則,
解得,
所以,直線的解析式為,
解得,(為點(diǎn)的坐標(biāo)),
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為;
②時(shí),∵拋物線關(guān)于軸對(duì)稱,
∴點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),
∴點(diǎn);
③時(shí),∵直線的解析式為,
∴設(shè)直線的解析式為,
則,
解得,
∴直線的解析式為,
解,得,(為點(diǎn)坐標(biāo)),
所以,點(diǎn)坐標(biāo)為,
綜上所述,點(diǎn)坐標(biāo)為,,;
如圖,過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),軸于點(diǎn),
∵,,,
∴,
,
∴,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
點(diǎn)在直線上,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得,
連接、,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,,
即,
所以,當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí),的最小值,
此時(shí),點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)、重合,
最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),以AD為邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE.設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)求證:△CAE≌△BAD;
(2)探究:當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上移動(dòng)時(shí),α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖2,若∠BAC=90°,CE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.求證:EF=DC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,、、在同一條直線上,連接.
(1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形,并說(shuō)明理由(說(shuō)明:結(jié)論中不得含有圖中未標(biāo)識(shí)的字母);
(2)與垂直嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(7分)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中點(diǎn),E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn),EG的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接CE,DF.
(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)①當(dāng)AE= cm時(shí),四邊形CEDF是矩形;
②當(dāng)AE= cm時(shí),四邊形CEDF是菱形;(直接寫出答案,不需要說(shuō)明理由)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=﹣x2+x+2與直線y=x+2相交于點(diǎn)C和D,點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn),它的橫坐標(biāo)為m,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸,交CD于點(diǎn)F.
(1)求點(diǎn)C和D的坐標(biāo);
(2)求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)如果以P、C、O、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是一張邊長(zhǎng)為的正方形紙片,,分別為,的中點(diǎn),沿過(guò)點(diǎn)的折痕將角翻折,使得點(diǎn)落在上的點(diǎn)處,折痕交于點(diǎn),求的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中,真命題的是( )
A.兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形全等
B.兩腰對(duì)應(yīng)相等的兩等腰三角形全等
C.兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等,兩三角形全等
D.兩銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖一,在平面直角坐標(biāo)系中,是軸正半軸上一點(diǎn),是第四象限一點(diǎn),軸,交軸負(fù)半軸于,且(a-2)+|b+3|=0,四邊形AOBC=12.
(1)求點(diǎn)坐標(biāo)
(2)如圖二,設(shè)為線段上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),求證:∠ADB+∠DBC-∠OAD=180°
(3)如圖三,當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合)時(shí),連接、作∠OAD、∠DEB的平分線交于點(diǎn),請(qǐng)你探索∠AFE與∠ADE之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如果兩個(gè)三角形兩邊和其中一邊所對(duì)的角相等,則兩個(gè)三角形全等,這是一個(gè)假命題,請(qǐng)畫圖舉例說(shuō)明;
(2)如圖,在△ABC和△DEF中,AB=ED,BC=DF,∠BAC=∠DEF=120°,求證:△ABC≌△EDF.
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