Question

13．已知圓C的周長被y軸平分，且經(jīng)過點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，0），B（0，3）
（1）求圓C的方程；
（2）過原點(diǎn)O作直線l₁：y=k₁x交圓C于點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），作直線l₂：y=k₂x交圓C于點(diǎn)G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），（其中y₂＞0，y₄＞0），設(shè)EH交x軸于點(diǎn)Q，GF交x軸于點(diǎn)R（如圖）
①求證：$\frac{{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{k}_{2}{x}_{3}{x}_{4}}{{x}_{3}+{x}_{4}}$
②求證：|OQ|=|OR|（證明過程不考慮EH或GF垂直于x軸的情形）

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)P是⊙C上一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），連接AC，利用勾股定理求出⊙C半徑，根據(jù)PC=2，列出等式即可．
（2）將直線EF和GH的方程分別代入圓C方程，利用韋達(dá)定理分別求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和與之積，進(jìn)而代入，證明原式．
（3）設(shè)點(diǎn)Q（q，0），點(diǎn)Q（r，0），由E、Q、H三點(diǎn)共線求得q的表達(dá)式，根據(jù)F、R、G三點(diǎn)共線求得r的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)（2）中的
整理得，進(jìn)而可知q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P是⊙C上一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），連接AC，設(shè)⊙C半徑為r，
在Rt△AOC中，∵AC²=OC²+OA²，
∴r²=（3-r）²+（$\sqrt{3}$）²，
∴r=2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，1），PC=2，
∴x²+（y-1）²=，4，
整理得x²+y²-2y-3=0
∴⊙C的方程為x²+y²-2y-3=0．

（Ⅱ）將直線EF的方程y=k₁x代入圓C方程
整理得（k₁²+1）x²-2k₁x-3=0
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，（k₁²+1）x²-2k₁x-3=0
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}_{1}}{{{k}^{2}}_{1}+1}$，x₁x₂=-$\frac{3}{{{k}_{1}}^{2}+1}$①
將直線GH的方程y=k₂x代入圓C方程，
同理可得，（k₂²+1）x²-2k₂x-3=0
∴x₃+x₄=$\frac{2{k}_{2}}{{{k}_{2}}^{2}+1}$，x₃x₄=-$\frac{3}{{{k}_{2}}^{2}+1}$②
由①、②可得，$\frac{{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{3}{2}$，$\frac{{k}_{2}{x}_{3}{x}_{4}}{{x}_{3}+{x}_{4}}$=-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{k}_{2}{x}_{3}{x}_{4}}{{x}_{3}+{x}_{4}}$．

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)Q（q，0），點(diǎn)Q（r，0），由E、Q、H三點(diǎn)共線
得$\frac{{x}_{1}-q}{{k}_{1}{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{4}-q}{{k}_{2}{x}_{4}}$，解得q=$\frac{（{k}_{1}-{k}_{2}）{x}_{1}{x}_{4}}{{k}_{1}{x}_{1}-{k}_{2}{x}_{4}}$
由F、R、G三點(diǎn)共線
同理可得 r=$\frac{（{k}_{1}-{k}_{2}）{x}_{2}{x}_{3}}{{k}_{1}{x}_{2}-{k}_{2}{x}_{3}}$
由 $\frac{{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{k}_{2}{x}_{3}{x}_{4}}{{x}_{3}+{x}_{4}}$變形得 $\frac{{x}_{2}{x}_{3}}{{k}_{1}{x}_{2}-{k}_{2}{x}_{3}}$=$\frac{-{x}_{1}{x}_{4}}{{k}_{1}{x}_{1}-{k}_{2}{x}_{4}}$
即$\frac{（{k}_{1}-{k}_{2}）{x}_{2}{x}_{3}}{{k}_{1}{x}_{2}-{k}_{2}{x}_{3}}$+$\frac{（{k}_{1}-{k}_{2}）{x}_{1}{x}_{4}}{{k}_{1}{x}_{2}-{k}_{2}{x}_{4}}$，
從而q+r=0，
所以|q|=|r|，
即|OQ|=|OR|．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用．涉及直線與圓的關(guān)系常需要把直線方程與圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理來解決問題，對于初中生來說有一定難度．