Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，點(diǎn)M在⊙O上，∠MBA=20°，N是$\widehat{MA}$的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，若AN=1，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 作N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N′，由兩點(diǎn)之間線段最短可知MN′與AB的交點(diǎn)P′即為△PMN周長(zhǎng)的最小時(shí)的點(diǎn)，根據(jù)N是弧MB的中點(diǎn)可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′為等邊三角形，由此可得出結(jié)論．

解答 解：過(guò)N作NN′⊥AB，交AB于G，交⊙O于N′，連接MN′交AB于P′，連接NN′，ON′，ON，MN，P′N，
∴NG=N′G，
∴N、N′關(guān)于AB對(duì)稱，
∴MN′與AB的交點(diǎn)P′即為△PMN周長(zhǎng)的最小時(shí)的點(diǎn)，
∵N是弧MB的中點(diǎn)，
∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，
∴∠MON′=60°，
∴△MON′為等邊三角形，
∴MN′=OM=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴△PMN周長(zhǎng)的最小值為3+1=4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．