Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝－x²＋bx＋c經(jīng)過點A(0，1)、B（3，）兩點，BC⊥x軸，垂足為C．點P是線段AB上的一動點（不與A，B重合），過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設(shè)點P的橫坐標為t．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達式；
(2)連結(jié)AM、BM，設(shè)△AMB的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
(3)連結(jié)PC，當t為何值時，四邊形PMBC是菱形．（10分）

Answer 1

（1）   (2)； 當
（3）四邊形PMBC為菱形。

試題分析：（1）已知拋物線y＝－x²＋bx＋c經(jīng)過點A(0，1)、B（3，）兩點，那么，解得，所以此拋物線的函數(shù)表達式是
（2）BC⊥x軸，垂足為C．點P是線段AB上的一動點（不與A，B重合），過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交X軸于D點；，而，；M、P點的橫坐標相同，由（1）知拋物線的解析式是，所以M的縱坐標為；由題知A0=1，BC=，OD=t，CD=OC-OD=3-t,DM=,所以=
+-=，
設(shè)△AMB的面積為S，= ，要使有最大值，那么當且僅當，即當
（3）四邊形PMBC是菱形，則PM=PC=BC，而由題知BC=，PM=PC=BC=，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設(shè)點P的橫坐標為t，M的縱坐標為，MD=，PD=MD-MP=-=，在中，由勾股定理得，即，解得，所以四邊形PMBC為菱形
點評：本題考查拋物線，求最值，菱形，要求學生掌握用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，會用配方法求二次函數(shù)的最值，掌握菱形的性質(zhì)，本題問題多，所涉及的知識面廣，計算量比較大，但總體難度不大