Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）分別求出圖中直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為：y=mx+n，有：

3m+n=0 n=-3

，
解得：m=1，n=-3；
∴直線(xiàn)BC：y=x-3．
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c中，得：

9+3b+c=0 c=-3

，
解得：b=-2，c=-3；
∴拋物線(xiàn)：y=x²-2x-3．

（2）由于菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，所以點(diǎn)P必在OC的垂直平分線(xiàn)上，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-

3

2

，代入拋物線(xiàn)y=x²-2x-3中，得：
-

3

2

=x²-2x-3，
解得 x₁=

2+ 10

2

，x₂=

2- 10

2

（舍去）
∴點(diǎn)P（

2+ 10

2

，-

3

2

）．