Question

18．如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)
（1）填空：∠BPC=120度；
（2）若點(diǎn)D在線段AP上，且DP=CP，求證：DA=PB．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理得∠BPC與∠BAC互補(bǔ)；
（2）連結(jié)CD．先證得△PCD為等邊三角形，得出∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，然后證明△ACD≌△BCP，即可求得AD=PB．．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)，
∴四邊形ABPC是圓的內(nèi)接四邊形
∴∠BPC+∠BAC=180°，
∴∠BPC=120°，
故答案為120；
（2）連結(jié)CD．
∵AB=AC=BC，
∴∠APB=∠APC=60°，
∴△PCD為等邊三角形，
∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCP}\\{CP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCP，
∴AD=PB．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理以及等邊三角形的性質(zhì)，是一個綜合題，難度較大．