Question

【題目】如圖1，AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=8。點(diǎn)P在線段AB上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由B點(diǎn)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)。它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t=2時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；

（2）如圖2，將圖1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=60°”，其他條件不變。設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒x個(gè)單位，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x,t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）△ACP與△BPQ全等，PC⊥PQ，理由見解析；（2）存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等，，

【解析】

（1）利用HL證得Rt△PAC≌Rt△QBP，得出∠APC=∠PQB，進(jìn)一步得出∠PQB+∠QPB=∠APC+∠QPB=90°，得出結(jié)論即可；

（2）由△ACP≌△BQP，分兩種情況：①AC=BQ，AP=BP，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

（1）解：△ACP與△BPQ全等，PC⊥PQ，理由如下：

當(dāng)t=2時(shí)，AP=BQ=2×2=4，BP=AB-AP=12-4=8=AC，

∵ AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠PAB=∠PBQ=90°，

在Rt△PAC和Rt△QBP中， ，

∴Rt△PAC≌Rt△QBP，

∴∠APC=∠PQB，

∵∠PQB+∠QPB=90°，

∴∠APC+∠QPB=90°，

即PC⊥PQ.

（2）解：存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等，理由如下：

若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，

即,解得；

若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BO，

即,解得.