Question

已知：如圖，Rt△AOB中，∠O=90°，以O(shè)A為半徑作⊙O，BC切⊙O 于點C，連接AC交OB于點P．

（1）求證：BP=BC；

（2）若sin∠PAO=，且PC=7，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：(1) 連接OC，證明∠BPC=∠BCA即可；

（2）延長AO交⊙O于點E，連接CE，在Rt△AOP中，由sin∠PAO=，設(shè)OP=x，則AP=3x，AO=， OE=， AE=，由，得到，得到，解出x，得到AO的長．

試題解析：(1)證明：連接OC， BC是⊙O切線，∴∠OCB=90°，∴∠OCA+∠BCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠O=90°，∴∠OAC+∠APO=90°，∵∠APO=∠BPC，∴∠OAC+∠BPC=90°，∴∠B[PC=∠BCA，∴BC=BP；

(2) 延長AO交⊙O于點E，連接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO=，設(shè)OP=x，則AP=3x，AO=，∵AO=OE，∴OE=，∴AE=，∵sin∠PAO=，∴，∴，∴，解得：，∴AO=．

考點：1．切線的性質(zhì)；2．解直角三角形．