Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₂，y₂），若a=|x₁-x₂|，b=|y₁-y₂|，則記作（P，Q）→{a，b }．
（1）已知（P，Q）→{a，b }，且點(diǎn)P（1，1），點(diǎn)Q（4，3），求a，b的值；
（2）點(diǎn)P（0，-1），a=2，b=1，且（P，Q）→{a，b }，求符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）⊙O的半徑為$\sqrt{5}$，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)Q（m，n）在直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$上，若（P，Q）→{a，b }，且a=2k，b=k （k＞0），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義即可解決問(wèn)題．
（2）利用定義，列出絕對(duì)值方程即可解決問(wèn)題．
（3）由題意可以假設(shè)直線PQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，①當(dāng)直線PQ與⊙O相切，切點(diǎn)為P時(shí)，在Rt△PCO中，OP=$\sqrt{5}$，tan∠PCO=tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，求出直線PQ的解析式，利用方程組即可求出點(diǎn)Q坐標(biāo)．②當(dāng)直線P′Q′與⊙O相切，切點(diǎn)為P′時(shí)，求出直線P′Q′的解析式，列方程組即可求出點(diǎn)Q坐標(biāo)．由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（1，1），點(diǎn)Q（4，3），
∴a=|1-4|=3，b=|1-3|=2．

（2）設(shè)Q（m，n），
由題意|m-0|=2，|n-1|=1，
∴m=±2，n=2或0，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-2，0）或（-2，-2）或（2，0）或（2，-2）．

（3）如圖，

∵⊙O的半徑為$\sqrt{5}$，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)Q（m，n）在直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$上，若（P，Q）→{a，b }，且a=2k，b=k （k＞0），
∴可以假設(shè)直線PQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，（點(diǎn)P、點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值是縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值的兩倍，點(diǎn)P不可能在直線AB上，所以直線線PQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b）
①當(dāng)直線PQ與⊙O相切，切點(diǎn)為P時(shí)，在Rt△PCO中，OP=$\sqrt{5}$，tan∠PCO=tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∴PC=2$\sqrt{5}$，
∴CO=$\sqrt{P{C}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=5，
∴C（-5，0），
∴直線PQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，即Q（2，$\frac{7}{2}$），
②當(dāng)直線P′Q′與⊙O相切，切點(diǎn)為P′時(shí)，同理可得直線P′Q′的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=1}\end{array}\right.$，即Q′（7，1）
∴滿足條件的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)m的范圍是2≤m≤7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、切線的性質(zhì)、勾股定理、二元一次方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．