Question

【題目】問(wèn)題探究
（1）請(qǐng)?jiān)趫D①的正方形ABCD的對(duì)角線BD上作一點(diǎn)P，使PA+PC最��；

（2）如圖②，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，AB=2，BC=2 ，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PE+PC最小，并求這個(gè)最小值．

（3）如圖③，李師傅有一塊邊長(zhǎng)為1000米的菱形ABCD采摘園，AC=1200米，BD為小路，BC的中點(diǎn)E為一水池，李師傅現(xiàn)在準(zhǔn)備在小路BD上建一個(gè)游客臨時(shí)休息納涼室P，為了節(jié)省土地，使休息納涼室P到水池E與大門C的距離之和最短，那么是否存在符合條件的點(diǎn)P？若存在，請(qǐng)作出的點(diǎn)P位置，并求出這個(gè)最短距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，

連接AC交BD于P，則AP+CP最小=AC

（2）解：如圖②，作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C'交BD于F，連接C'E交BD于P，則PE+PC最小=C'E．

∵BD是矩形ABCD的對(duì)角線，

∴CD=AB=2，∠BCD=90°，

在Rt△BCD中，CD=2，BC=2 ，

∴tan∠CBD= = = ，

∴∠CBD=30°，

由對(duì)稱知，CC'=2CF，CC'⊥BD，

∴∠CFD=90°，

∴∠BCF=60°，∠DCF=30°，

在Rt△CDF中，CD=2，∠DCF=30°，

∴CF= ，

∴CC'=2CF=2 ，

∵點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，

∴CE= BC= ，

∴CF=CE，

連接EF，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF=CF=C'F，

∴△CEC'是直角三角形，

在Rt△CEC'中，CC'=2 ，CE= ，

∴C'E=3，

∴PE+PC最小為3

問(wèn)題解決

（3）解：如圖③，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，

∴OC=OA= AC=600，AC⊥BD，

在Rt△BOC中，OB= =800，

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于F，

∴EF∥OB，

∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EF= OB=400，

∵CE= BC=500，

根據(jù)勾股定理得，CF= =300，

∴AF=AC﹣CF=1200﹣300=900，

連接AE交BD于P，

即：PC+PE最小=AE，

在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得，AE= =100 ，

【解析】（1）依據(jù)連點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)點(diǎn)P在AC和BD的交點(diǎn)處AP+PC有最小值；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C'交BD于F，連接C'E交BD于P，則PE+PC最小=C'E，然后再證明△CEC'是直角三角形，最后，再利用勾股定理求解即可；；
（3）連接AE交BD于P，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，再利用三角形的中位線求出EF，接下來(lái)，再利用勾股定理求出CF，最后在Rt△AEF中利用勾股定理即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的菱形的性質(zhì)，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半才能得出正確答案．