Question

2．如圖，點(diǎn)O為正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接EF，AE，BF．
（1）請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖形；
（2）根據(jù)補(bǔ)全的圖形，猜想并證明直線AE與BF的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出OF，按照題意連接各線段即可得出圖形；
（2）猜想：AE⊥BF．延長(zhǎng)EA交OF于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及角的計(jì)算即可得出OA=OB，∠EOA=∠FOB，由此即可證出△EOA≌△FOB（SAS），進(jìn)而得出∠OEA=∠OFB，再結(jié)合∠EOF=90°以及對(duì)頂角相等，即可得出∠OFB+∠FHG=90°，故AE⊥BF．

解答 解：（1）依照題意畫出圖形，如圖1所示．

（2）猜想：AE⊥BF．
證明：延長(zhǎng)EA交OF于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，如圖2所示．
∵O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴OA=OB，∠AOB=90°．
∵OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OF，
∴OE=OF，∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠EOA=∠FOB．
在△EOA和△FOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{∠EOA=∠FOB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△FOB（SAS），
∴∠OEA=∠OFB．
∵∠OEA+∠OHA=90°，∠FHG=∠OHA，
∴∠OFB+∠FHG=90°，∠FGH=90°，
∴AE⊥BF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖中的旋轉(zhuǎn)變換、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）畫出圖形；（2）找出∠OFB+∠FHG=90°．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出相等的角，再通過角的計(jì)算找出直角是關(guān)鍵．