Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+6x與x軸交于點O，A，頂點為B，動點E在拋物線對稱軸上，點F在對稱軸右側拋物線上，點C在x軸正半軸上，且EF OC，連接OE，CF得四邊形OCFE．

（1）求B點坐標；
（2）當tan∠EOC= 時，顯然滿足條件的四邊形有兩個，求出相應的點F的坐標；
（3）當0＜tan∠EOC＜3時，對于每一個確定的tan∠EOC值，滿足條件的四邊形OCFE有兩個，當這兩個四邊形的面積之比為1：2時，求tan∠EOC．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，

∴B（3，9）

（2）

解：拋物線的對稱軸為直線x=3，直線x=3交x軸于H，如圖，

∵tan∠EOC= ，即tan∠EOH= ，

∴ = ，

∴EH=4，

∴E點坐標為（3，4）或（3，﹣4），

當y=4時，﹣（x﹣3）2+9=4，解得x1=3﹣ （舍去），x2=3+ ，

當y=﹣4時，﹣（x﹣3）2+9=﹣4，解得x1=3﹣ （舍去），x2=3+ ，

∴F點坐標為（3+ ）或（3+ ，﹣4）

（3）

解：如圖，∵平行四邊形OEFC和平行四邊形OE′F′C′等高，

∴這兩個四邊形的面積之比為1：2時，OC′=2OC，

設OC=t，則OC′=2t，

∴F點的橫坐標為3+t，F(xiàn)′點的橫坐標為3+2t，

而點F和F′的縱坐標互為相反數(shù)，

∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得t1= ，t2=﹣ （舍去），

∴F點坐標為（3+ ， ），

∴E（3， ），

∴tan∠EOC= = ．

【解析】（1）利用配方法把一般式配成頂點式即可得到B點坐標；（2）拋物線的對稱軸為直線x=3，直線x=3交x軸于H，如圖，利用正切定義可計算出EH，從而得到E點坐標為（3，4）或（3，﹣4），然后分別計算函數(shù)值為4和﹣4所對應的自變量的值即可得到滿足條件的F點的坐標；（3）如圖，利用平行四邊形OEFC和平行四邊形OE′F′C′等高得到OC′=2OC，則可設OC=t，則OC′=2t，于是得到F點的橫坐標為3+t，F(xiàn)′點的橫坐標為3+2t，然后利用點F和F′的縱坐標互為相反數(shù)可列方程﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解方程求出t的值，則可得到F點的坐標，從而得到E點坐標，最后利用正切的定義求解．