Question

【題目】已知x軸上有點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)且m＜﹣1，連接AB，BC，tan∠ABO=，以線段BC為直徑作⊙M交直線AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作直線l∥AC，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c，直線l與拋物線和⊙M的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)．

（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）用含m的式子表示拋物線的對(duì)稱軸；

（3）線段EF的長(zhǎng)是否為定值？如果是，求出EF的長(zhǎng)；如果不是，說(shuō)明理由．

（4）是否存在點(diǎn)C（m，0），使得BD=AB？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）B的坐標(biāo)為（0，2）；（2）x=；（3）見(jiàn)解析；（4）﹣ 或﹣

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正切函數(shù)的定義及點(diǎn)A的坐標(biāo)求解；

（2）因?yàn)辄c(diǎn)C、A、B在拋物線上，故代入其坐標(biāo)列方程組求解即可；

（3）由二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱性表示出EB的長(zhǎng)，由圓的對(duì)稱性表示出FB的長(zhǎng)，根據(jù)EF=FB﹣EB求出EF的長(zhǎng)，判斷是否為定值即可；

（4）連接CD. ①當(dāng)D在線段AB上時(shí)，因?yàn)?/span>BC為圓的直徑，所以∠BDC=90°，若BD=AB，可證明CA=CB，由此可求得m的值；②當(dāng)交點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由△AOB∽△ADC列方程求解.

解：（1）∵tan∠ABO=，且A（1，0），

∴OB=2，即：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）．

（2）點(diǎn)C（m，0），A（1，0），B（0，2）在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴

解之得：b=﹣，a=，

∴x=﹣=．

即：拋物線的對(duì)稱軸為x=

（3）∵EB=﹣（1+m），F(xiàn)B=﹣m，EF=FB﹣EB=1，

∴線段EF的長(zhǎng)是定值．

（4）①當(dāng)D在線段AB上時(shí)，如下圖所示：連接CD

∵BC是⊙M的直徑，

∴∠CDB=90°，

∵若BD=AB，即BD=DA

則易證CB=CA

∴=1﹣m

解之得m=﹣，

即：存在一點(diǎn)C（﹣，0），使得BD=AB．

②如圖2中，當(dāng)交點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵△AOB∽△ADC，

∴=，

∴=，

解得m=﹣，

∴存在一點(diǎn)C（﹣，0），使得BD=AB．

綜上所述，滿足條件的m的值為﹣或﹣．