Question

已知一次函數(shù)y=-2x+2與x軸、y軸分別交于A、B點(diǎn)，以AB為邊在第一象限內(nèi)作直角△ABC，△ABC∽△OAB．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）一個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過不同的點(diǎn)C和點(diǎn)P，問：在第一象限內(nèi)，是否存在點(diǎn)P（記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m）使得△PAB的面積等于△ABC的面積？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求點(diǎn)B、A的坐標(biāo)，由勾股定理得，AB=

5

，由△ABC∽△OAB，可得點(diǎn)C（5，2）；
（2）存在，由（1）可知AB=

5

，AC=2

5

，再求出△ABC的面積，設(shè)這個反比例函數(shù)關(guān)系式為y=

k

x

(k≠0)．
求得解析式，再直線CP的解析式為y=kx+b，求出解析式，由S_△PAB=S_△DOE-S_△PBE-S_△AOB-S_△PAD，求出m，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，10）．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時，y=2，則點(diǎn)B（0，2）；
當(dāng)y=0時，解得x=1，則點(diǎn)A（1，0）
∵在直角△ABC中，AO=1，BO=2，∴AB=

AO2+BO2

=

5

，
∵△ABC∽△OAB，∴

BC

AB

=

AC

OB

=

AB

OA

=

5

，
解得AC=2

5

，BC=5，
∵△ABC∽△OAB，∴∠ABC=∠BAO，
∴∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠OBA+∠BAO=90°，
∴點(diǎn)C（5，2）；
（2）存在
∵由（1）可知AB=

5

，AC=2

5

，
∴△ABC的面積=

1

2

AB•AC=5
設(shè)這個反比例函數(shù)關(guān)系式為y=

k

x

(k≠0)．
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（5，2），∴k=10，
∴y=

10

x

．
∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=

10

x

圖象上，且在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，
∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，

10

m

），m＞0且m≠5（5分）
設(shè)直線CP的解析式為y=kx+b，∵C（5，2），P（m，

10

m

），
∴

5k+b=2 mk+b= 10 m .

解得

k=- 2 m b= 2m+10 m .

∴y=-

2

m

x+

2m+10

m

（m＞0且m≠5）．
當(dāng)x=0時，y=

2m+10

m

，當(dāng)y=0時，x=5+m．
設(shè)直線CP與x軸、y軸分別交于D、E點(diǎn)，則OD=5+m，OE=

2m+10

m

∵S_△PAB=S_△DOE-S_△PBE-S_△AOB-S_△PAD
=

1

2

（5+m）

2m+10

m

-

1

2

•m•

10

m

-

1

2

×1×2-

1

2

（4+m）•

10

m

=m+

5

m

-1
=5
∴解得m=1或m=5
∵m＞0，且m≠5
∴m=1
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，10）

點(diǎn)評：此題作為壓軸題，綜合考查函數(shù)、方程與勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識．
此題是一個大綜合題，難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的鉆研精神和堅(jiān)韌不拔的意志品質(zhì)．